Dois alto-falantes estão voltados diretamente um de frente para o outro, a uma distância L . Eles emitem, em fase, um mesmo tom de 170 H z A velocidade do som no local é de 340   m / s . Se uma pessoa caminha na direção de um alto-falante até o outro a uma velocidade de 4 m / s , o que ela escutará?

A) Um tom de 170Hz com volume constante

B) Um tom de 168 Hz e outro tom de 172Hz, ambos com volume constante.

C) Um tom de 170Hz cujo volume varia periodicamente, com um máximo 1 vez por segundo.

D) Um tom de 170Hz cujo volume varia periodicamente, com um máximo 2 vezes por segundo.

E) Um tom de 170Hz cujo volume varia periodicamente, com um máximo 4 vezes por segundo.

Passo 1

Aqui temos duas coisas acontecendo!

A primeira é que as frequências dos autofalantes ouvidas pela pessoa não serão 170 H z . Isso porque temos o efeito Doppler!

A segunda é que temos a interferência das duas ondas!

Então vamos olhar primeiro efeito Doppler

A frequência f 1 do alto-falante da esquerda vai ser modificada por

f 1 = f 0 v s o m + v p e s s o a v s o m = 170 340 + 4 340

f 1 = 172   H z

A frequência f 2 do alto-falante da direita vai ser modificada por

f 2 = f 0 v s o m - v p e s s o a v s o m = 170 340 - 4 340

f 2 = 168   H z

Mas calma que a questão não acabou!!!! Ainda tem que fazer a interferência entre as duas ondas!!!

Passo 2

Agora temos que somar as duas ondas!

As equações das ondas são dadas por

y 1 = A s e n k x - ω 1 t y 2 = A s e n k x + ω 2 t

(A diferença de sinal na frente do ω é por que uma onda está indo para a esquerda e a outra para direita)

A onda resultante será a soma das duas

y = y 1 + y 2 = A s e n k x - ω 1 t + A s e n k x + ω 2 t

y = A s e n k x - ω 1 t + s e n k x + ω 2 t

Usando a propriedade

s e n α + s e n β = 2 cos ⁡ α - β 2 s e n α + β 2

y = 2 A cos ⁡ k x - ω 1 t - k x + ω 2 t 2 s e n k x - ω 1 t + k x + ω 2 t 2

y = 2 A cos ⁡ - ω 1 + ω 2 t 2 s e n k x + ω 2 - ω 1 t 2

Ou seja, temos um efeito de batimento!

Substituindo os valores das frequências (lembrando que ω = 2 π f )

y = 2 A cos ⁡ - 2 π ( f 1 + f 2 ) t 2 s e n k x + 2 π f 2 - f 1 t 2

y = 2 A cos ⁡ - 2 π ( 172 + 168 ) t 2 s e n k x + 2 π 172 - 168 t 2

y = 2 A cos ⁡ - 2 π × 170 t s e n k x + 2 π × 2 t

Ou seja, temos uma função cosseno que varia rapidamente sendo modulada por uma que varia lentamente.

Pela análise dessa função a parte que varia lentamente tem uma frequência de 2 H z , ou seja, vemos máximos com uma frequência de 2 H z .

Mas como temos uma parte rapidamente oscilando temos que mínimos acabam virando máximos também! Assim a nossa frequência para máximos de amplitude vira 4 H z !

Já a parte rapidamente oscilante tem um frequência de 170 H z , ou seja, temos um som com frequência de 170 H z cujos máximos de intensidade ocorrem com uma frequência de 4 H z !

Resposta

(E)

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