Um submarino (sub A), navegando a uma velocidade V A = 30 m / s , envia um sinal de sonar (onda sonora na água) com frequência f A = 980 H z . O sinal é refletido pelo casco do submarino inimigo(sub B)que viaja com uma velocidade V B na direção oposta(vide figura). Considere a velocidade do som na água como sendo V s = 1500 m / s e despreze quaisquer efeitos de interferência.

  1. Se a frequência do sinal medido pelo submarino B é f B = 1020 H z , qual a velocidade V B ?
  2. Qual a frequência f A r do sinal refletido, medido pelo submarino A .
  3. Considere que o submarino B seja dotado de um sistema contra-medidas que (1)suprime completamente o sinal enviado pelo Sub A, (2)altera a velocidade do submarino pra V B ' = 15 m / s , e (3)envia um outro sinal de sonar(sinal “falso” ) com frequência f B ' = 1000 H z , com o intuito de confundir o inimigo.

  4. Nesse caso, qual será a frequência do sinal “falso” f A ' medido pelo submarino A ?
  5. Se os engenheiros do submarino A forem de fato enganados e pensarem que esse sinal éa reflexão do sinal original, que valor obterão pra velocidade (e direção) do submarino B ?

Passo 1

a):

Esse é um caso comum de efeito Doppler. Nesse caso, sub A é a fonte e sub B o observador e ambos se aproximam.

Vamos aplicar a equação do efeito Doppler então:

f B = f A . v s + v B   v s - v A

Lembrando que: como o observador se aproxima, colocamos o “+” no numerador e como a fonte se aproxima, o “-“ no denominador.

A nossa incógnita é o v B .

Vamos isolar ele:

f B . v s - v A f A - v s = v B

Beleza!

Vamos aplicar os valores que temos do enunciado:

v B = 1020 . 1500 - 30 980 - 1500 = 1530 - 1500 = 30 m / s

v B = 30 m / s

Passo 2

b):

Agora os papéis se invertem. Você lembra como faz esse tipo de questão quando há uma reflexão em um corpo? O corpo que reflete as ondas se torna a nova fonte de ondas.

Por causa disso, vamos considerar agora que o sub B é a fonte e o sub A é o observador, e ambos se aproximam. Por que ambos se aproximam, você já sabe, mais encima e menos embaixo:

Então:

f A r = f B v s + v A v s - v B = 1020 . 1500 + 30 1500 - 30 ≅ 1061,63 H z

Passo 3

c):

Bom, como vamos pensar nesse item?

Seguinte:

Aqui o sub B não reflete mais a onda verdadeira mandada pelo sub A. O que acontece agora é que o sub B passa a se comportar como uma fonte se movendo à 15 m / s , se aproximando do observador, e emitindo uma frequência de 1000 H z . Então, vamos aplicar a fórmula do efeito Doppler pra essa “fonte” e pro observador(Sub A):

f A ' = f B ' . v s + v a v s - v B '

f A ' = 1000 . 1500 + 30 1500 - 15 ≅ 1030 H z

Passo 4

d):

Bom, se os engenheiros forem enganados mesmo, eles acharão que o que aconteceu foi uma simples reflexão. Ou seja, naquele esquema: A fonte, no caso o sub A, se aproximando do observador, sub B, lança ondas na direção dele e esse as reflete, passando a ser considerado uma nova fonte de onda.

Show?

Bom, isso é o que eles pensam...

Mas tudo bem. Vamos fingir que também fomos enganados rs. Vamos chamar de v B F a velocidade falsa de B. Então, resolvendo em duas etapas:

A fonte A se aproximando de B vai fazer com que B sinta frequências de acordo com a fórmula:

f A r = f A . v S + v B F v S - v A

Beleza! Agora, a nova fonte de ondas que passamos a considerar é o B . Essa fonte se aproxima do observador A com uma velocidade v B F , a velocidade que vamos determinar, e emite ondas numa frequência f A r . Então:

f A ' = f A r . v s + v A v S - v B F

f A ' = f A . v S + v B F v S - v A . v s + v A v S - v B F

Ah, é claro, os engenheiros do submarino A medem uma frequência f A ' .

Passo 5

Isolando v B F :

v S + v B F = f A ' . v S - v A . v S - v B F v S + v A f A

Dividindo o segundo membro por v S no numerador e denominador:

v S + v B F = f A ' f A . 1 - v A v S 1 + v A v S . v S - v B F = 130 . 0,98 . v S - v B F 980.1,02 ≅ 1.0098 v S - v B F

v S + v B F = 1.0098 . v S - v B F

v B F = v s . 1.0098 - 1 1.0098 + 1 ≅ 7.3   m / s

v B F = 7,3   m / s

Essa é a resposta. Mas se considerarmos que 1500   m / s ≫ > 7,3   m / s , podemos também responder que:

v B F = 0

Ou seja, a velocidade é insignificante perto da grandeza da velocidade do som.  

Resposta

a):

v B = 30 m / s

b):

f A r ≅ 1061 , 63 H z

c):

f A ' ≅ 1030 H z

d):

v B F = 7,3   m / s

Se considerarmos que 1500   ≫ > 7,3   podemos também responder que:

v B F = 0

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