Exercícios Resolvidos de Efeito Fotoelétrico

Física 4 – PUC RJ – 2019.1 – P3 – Questão 2

Um laser de Argônio, com comprimento de onda de 488   n m , potência de 5   m W e diâmetro do feixe de 2,0   m m , atinge uma superfície de Césio, cuja função trabalho é de 2,1   e V ;

a) De acordo com a teoria quântica para a radiação, quantos fótons por segundo o feixe do laser fornece?

b) De acordo com a teoria clássica da luz, e tomando a área da seção reta do Césio como a de absorção da luz, calcule o tempo mínimo que levaria para um elétron ser emitido.

(Dado: raio do Césio é 3,0 ⋅ 10 - 10   m .)

c) Qual é o potencial de frenagem para os elétrons emitidos?

d) Qual é a frequência de corte do Césio?

e) Por que a existência de uma frequência de corte é evidência da Teoria de Einstein para o efeito fotoelétrico?

Passo 1

Fala pessoal, vamos resolver agora um exercício bem legal sobre efeito fotoelétrico!

No item (a) vamos considerar apenas um laser com comprimento de onda λ = 488   n m e com potência P = 5   m W . Queremos saber quantos fótons por segundo esse laser fornece. Para resolver esse problema, você precisa lembrar que a potência é a energia por unidade de tempo:

P = Δ E Δ t

Além disso, pela teoria quântica da radiação, a energia de um fóton é

E f o t o n = h f = h c λ ,

onde h é a constante de Planck, λ é o comprimento de onda e c é a velocidade da luz. Assim, a energia total será

Δ E = n h c λ ,

onde n é o número de fótons. Logo,

P = n Δ t   h c λ → n Δ t = P λ h c

Agora é só substituir os valores usando h = 6,63 ⋅ 10 - 34   J s :

n Δ t = 5 ⋅ 10 - 3 J s ⋅ 488 ⋅ 10 - 9   m 6,63 ⋅ 10 - 34   J   s ⋅ 3 ⋅ 10 8 m s = 122,7 ⋅ 10 14   s - 1

Logo,

n Δ t = 1,2 ⋅ 10 16   s - 1

Portanto, cerca de 1,2 ⋅ 10 16 fótons são fornecidos por segundo pelo laser.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No item (b) ele quer saber o tempo necessário para que o átomo de Césio absorva energia suficiente para liberar o elétron. Para fazer isso, temos que usar a concepção clássica que o átomo absorve continuamente um pouquinho de energia de cada vez e vai acumulando-a até que seja atingida a função trabalho (energia mínima para que o elétron seja liberado).

A potência P = 5   m W do laser corresponde a um feixe cujo raio é a = 1,0   m m . Para achar a potência efetiva que pode ser absorvida pelo átomo, temos que considerar o raio do átomo r = 3 ⋅ 10 - 10   m . Assim, podemos fazer uma regra de três:

P → π a 2

P e f → π r 2

Logo,

P e f = r a 2 P

A energia absorvida pelo átomo é

E a b s = P e f Δ t → E a b s = r a 2 P   Δ t

Para que o elétron seja liberado, temos que

E a b s ≥ W ,

onde W = 2,1   e V é a função trabalho do Césio (energia mínima para liberar o elétron). Assim, temos que

r a 2 P   Δ t ≥ W

Logo,

Δ t ≥ W P a r 2

Antes de substituir, vamos converter W para joule:

W = 2,1 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19   J

Assim,

Δ t ≥ 2,1 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19   J 5 ⋅ 10 - 3 J s ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 3   m 3,0 ⋅ 10 - 10   m 2 = 0,0746 ⋅ 10 - 2   s

Logo,

Δ t ≥ 7,5 ⋅ 10 - 4   s

Com isso, vemos que classicamente, o tempo mínimo para que o átomo absorva energia suficiente para emitir um elétron é da ordem de um milissegundo.

Passo 3

Agora vamos para o item (c)! Usando a formulação de Einstein para o efeito fotoelétrico, a energia cinética com que os elétrons são liberados é dada por

K = h f - W = h c λ - W

Note que a condição para que um elétron seja emitido pela placa de Césio é que a energia h f do fóton seja maior que a função trabalho W .

Para fazer as contas, vamos usar a relação h c = 1240   e V   n m , de modo que

K = 1240   e V   n m 488   n m - 2,1   e V = 2,54   e V - 2,1   e V

Assim,

K = 0,44   e V

Para frear um elétron com energia cinética de 0,44   e V , é necessária uma diferença de potencial V = 0,44   V . Portanto, o potencial de frenagem é

V f r e n a g e m = 0,44   V

Passo 4

No item (d) queremos achar a frequência de corte. Aqui você deve saber que a frequência de corte f C é a frequência tal que a energia cinética do elétron emitido é nula. Assim,

0 = h f C - W → f C = W h

Essa é a frequência mínima que a radiação deve ter para que algum elétron seja emitido da placa via efeito fotoelétrico. Usando h = 4,1 ⋅ 10 - 15   e V   s , temos que

f C = 2,1   e V 4,1 ⋅ 10 - 15   e V   s → f C = 0,5 ⋅ 10 15   H z

Ou ainda,

f C = 5 ⋅ 10 14   H z

Passo 5

Falta só mais um item!!!

Ele quer que a gente discuta o porquê de a frequência de corte ser a grande evidência da teoria de Einstein para o efeito fotoelétrico.

Para explicar essa história, vou copiar um texto que eu mesmo escrevi alguns anos atrás quando dei uma aula sobre efeito fotoelétrico, ele explica exatamente a pergunta. Espero que vocês gostem 😊:

“Hertz e Lenard perceberam que era possível ejetar elétrons de uma placa metálica quando se incidia luz violeta sobre ela. Todavia, quando se incidia luz vermelha, a ejeção de elétrons não ocorria. Assim, a frequência da radiação devia ter um papel importante neste fenômeno.

Além disso, os cientistas perceberam que não adiantava aumentar a intensidade da radiação incidente: a luz violeta continuava ejetando elétrons enquanto a luz vermelha não. Olha o quão paradoxal isso parece: se jogássemos um pouquinho (baixa intensidade) de luz violeta, elétrons eram ejetados; por outro lado, se jogássemos muita (alta intensidade) luz vermelha, eles não eram.

Poder-se-ia pensar que a luz incidindo sobre o metal fornecia, gradativamente, energia para os elétrons livres de condução de modo que, ao terem absorvido energia suficiente, os elétrons poderiam ser ejetados do material. Mas essa explicação falha num aspecto fundamental: se ela fosse verdadeira, a frequência da radiação incidente não ia desempenhar nenhum papel no processo, apenas a intensidade importaria. Experimentalmente isso não ocorria: a frequência que determinava o que acontecia!

Assim, o modelo ondulatório que explicava muito bem a propagação da luz não conseguia explicar o efeito fotoelétrico devido à interação da luz com a matéria. Tinha alguma física desconhecida nesse processo de interação e em 1905 um jovem físico alemão resolveu esse problema e apareceu para o mundo.

Para muitos, 1905 é considerado o ano mais importante da história da ciência. Foi nesse ano que o jovem Albert Einstein apareceu para o mundo publicando cinco artigos que mudaram completamente nossa compreensão da natureza. Um desses artigos explicava o efeito fotoelétrico.

Discutimos que o modelo ondulatório para a luz falhava na explicação do efeito fotoelétrico pois uma radiação muito fraca, mas com a frequência certa podia causar a ejeção de elétrons, porém uma radiação muito intensa, mas com a frequência errada não. O grande problema do modelo ondulatório estava na absorção contínua de energia pelos elétrons do metal. Foi exatamente aqui que Einstein apareceu com uma ideia brilhante, com inspiração no que Planck fez para resolver o problema do corpo negro.

O que Einstein fez foi explicar o efeito fotoelétrico encarando a luz como uma partícula (não como uma onda) no processo de interação com a matéria. Ele postulou que a luz era formada por pequenos pacotes de energia e que a ejeção dos elétrons ocorreria apenas se a energia de um pacote individual fosse suficiente para ejetar o elétron. Não adiantaria lançar um monte de pacotes se a energia de cada um fosse pequena: o que importava era a energia de um único pacote. Foi aqui que ele conseguiu relacionar a frequência da radiação. Inspirado na ideia de Planck, Einstein estabeleceu que cada pacote de energia contido na radiação teria uma energia bem definida que dependeria da frequência:

E = h f

Assim, se a frequência fosse baixa, a energia desse pacotinho seria pequena e mesmo lançando muitos pacotinhos, o efeito fotoelétrico não seria observado. Por outro lado, se a energia do pacote fosse suficiente para ejetar elétrons do metal, bastaria um pacote para que o efeito ocorresse. O que Einstein estava propondo era que a radiação, no processo de interação com a matéria, era quantizada em pacotes de energia. Mais tarde esses pacotes de energia foram chamados de fótons.

Agora vamos introduzir um pouco de matemática. Percebeu-se que, conforme se aumentava a frequência da radiação incidente, os elétrons eram ejetados com maior velocidade. Desta forma, podemos escrever a seguinte equação:

K = h f - W

onde K é a energia cinética com que o elétron é ejetado, f é a frequência da radiação incidente e W é a chamada função trabalho do metal.

A função trabalho é a energia mínima que o fóton deve ter para que o elétron seja ejetado do metal. Note que h f = W , o fóton incidente tem energia apenas para ejetar o elétron, porém este sairá da placa sem energia cinética. Se h f > W , parte da energia do fóton fará com que o elétron seja ejetado e a energia restante será a energia cinética do elétron. Caso h f < W , o elétron não é ejetado.”

Resposta

n Δ t = 1,2 ⋅ 10 16   s - 1

Δ t ≥ 7,5 ⋅ 10 - 4   s

V f r e n a g e m = 0,44   V

f C = 5 ⋅ 10 14   H z

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