Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 217 – 1,2,8,12

Associe cada quádrica ao gráfico que mais se assemelha a ela:

  1. x 2 + y 2 + 4 z 2 = 10
  2. z 2 + 4 y 2 - 4 x 2 = 4
  3. z 2 + x 2 - y 2 = 1
  4. 9 x 2 + 4 y 2 + 2 z 2 = 36

i)

ii)

iii)

iv)

v)

Passo 1

Antes de começar, só um obszinho: tem 5 figuras e 4 opções apenas, estranho, né? Mas é que alguma opção de superfície vai se aplicar a mesma figura, ou seja, uma mesma figura vai estar associada a mais de uma superfície. Pode parecer estranho a questão fazer isso, mas a ideia era só ver se a gente conhece a “cara” das superfícies.

Sem mais delongas, vamos lá: devemos observar os sinais dos coeficientes que estão multiplicando as variáveis elevadas ao quadrado.

  1. 3 coeficientes positivos, isso indica uma elipsoide
  2. 2 coeficientes positivos, indica uma hiperboloide de uma folha
  3. 2 coeficientes positivos, indica uma hiperboloide de uma folha
  4. 3 coeficientes positivos, isso indica uma elipsoide
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Devemos agora conseguir colocar as equações das quádricas na forma geral de cada uma delas, para termos certeza que são essas quadricas mesmo.

  1. x 2 + y 2 + 4 z 2 = 10 , dividindo por 10 temos: x 2 10 + y 2 10 + z 2 10 4 = 1 isso confirma que trata-se de um elipsoide.
  2. z 2 + 4 y 2 - 4 x 2 = 4 → z 2 4 + y 2 - x 2 = 1 , é um hiperboloide de uma folha
  3. z 2 + x 2 - y 2 = 1 , é um hiperboloide de uma folha
  4. 9 x 2 + 4 y 2 + 2 z 2 = 36 → x 2 4 + y 2 9 + z 2 18 = 1 é um elipsoide

Passo 3

Agora vamos correlacionar as quádricas já identificadas com seu esboço

  1. É um elipsoide, portanto a única alternativa possível é a i)
  2. É um hiperboloide de uma folha com o coeficiente de x 2 negativo. Seu gráfico só pode ser a alternativa iii)
  3. É um hiperboloide de uma folha com o coeficiente de y 2 negativo. Seu gráfico só pode ser a alternativa ii)
  4. É um elipsoide, portanto a única alternativa possível é a i)

Resposta

  1. Elipsoide, figura i)
  2. Hiperboloide de uma folha, figura iii)
  3. hiperboloide de uma folha, figura ii)
  4. Elipsoide, figura i)

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