Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

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Enunciado

Questão 1. Determine o centro e o raio das seguintes esferas:

a) x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y + 8 z + 20 = 0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos uma equação de uma esfera, porém essa equação está desorganizada e nosso trabalho é organizá-la e definir o centro e o raio dessa esfera.

Como fazemos isso? 🤔

Com uma equação de uma esfera, podemos definir seu centro e seu raio, por exemplo, em uma equação genérica, temos

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Onde x 0 , y 0 , z 0 é o ponto onde a esfera está centrada e r é o raio dessa esfera.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A equação dada é x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y + 8 z + 20 = 0

Como a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 , podemos ir moldando a os termos da equação.

Começando em x ...

x 2 - 4 x + y 2 + z 2 + 2 y + 8 z + 20 = 0

Como aparece o termo - 4 x , podemos imaginar que o termo b seria - 2 , ou seja

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + z 2 + 2 y + 8 z + 20 = 4

x - 2 2 + y 2 + z 2 + 2 y + 8 z + 20 = 4

Como eu tive que somar 4 em um lado da igualdade, somei 4 no outro lado também.

Agora em y

x - 2 2 + y 2 + 2 y + z 2 + 8 z + 20 = 4

Aqui podemos imaginar que b seria 1 ...

x - 2 2 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 + 8 z + 20 = 4 + 1

x - 2 2 + y + 1 2 + z 2 + 8 z + 20 = 5

E por fim, em z , temos

x - 2 2 + y + 1 2 + z 2 + 8 z + 20 = 5

Assim, vemos que b seria 4

x - 2 2 + y + 1 2 + z 2 + 8 z + 16 + 20 = 5 + 16

x - 2 2 + y + 1 2 + z + 4 2 + 20 = 21

x - 2 2 + y + 1 2 + z + 4 2 = 1

Assim, comparando com a equação genérica do passo 1 , vemos que x 0 = 2 , y 0 = - 1 e z 0 = - 4 com o raio 1 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x - 2 2 + y + 1 2 + z + 4 2 = 1

Centro: 2 , - 1 - 4

Raio: 1

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