Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

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Enunciado

Questão 1. Determine o centro e o raio das seguintes esferas:

c) x 2 + y 2 + z 2 - 20 y + 6 z + 9 = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos uma equação de uma esfera, porém essa equação está desorganizada e nosso trabalho é organizá-la e definir o centro e o raio dessa esfera.

Como fazemos isso? 🤔

Com uma equação de uma esfera, podemos definir seu centro e seu raio, por exemplo, em uma equação genérica, temos

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Onde x 0 , y 0 , z 0 é o ponto onde a esfera está centrada e r é o raio dessa esfera.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A equação dada é x 2 + y 2 + z 2 - 20 y + 6 z + 9 = 0

Como a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 , podemos ir moldando a os termos da equação.

Começando em x ...

x 2 + y 2 + z 2 - 20 y + 6 z + 9 = 0

Como aparece o termo x 2 sozinho, podemos imaginar que o termo b seria 0 , ou seja, a função continua a mesma.

x - 0 2 + y 2 + z 2 - 20 y + 6 z + 9 = 0

Agora em y , vamos fazer a mesma coisa

x - 0 2 + y 2 - 20 y + z 2 + 6 z + 9 = 0

Com isso, podemos imaginar que b seria - 10 , ou seja

x - 0 2 + y 2 - 20 y + 100 + z 2 + 6 z + 9 = + 100

x - 0 2 + y - 10 2 + z 2 + 6 z + 9 = 100

Como eu adicionei 100 de um lado da igualdade, tive que adicionar 100 do outro lado também.

E por fim, em z , temos

x - 0 2 + y - 10 2 + z 2 + 6 z + 9 = 100

Em z vemos que b seria 3 para satisfazer o termo 6 z ...

x - 0 2 + y - 10 2 + z 2 + 6 z + 9 + 9 = 100 + 9

x - 0 2 + y - 10 2 + z + 3 2 = 100

Portanto, comparando com a equação genérica do passo 1, vemos que o centro da esfera está no ponto 0 , 10 , - 3 e tem raio r = 10 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x - 0 2 + y - 10 2 + z + 3 2 = 100

Centro: 0,10 , - 3

Raio: 10

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