Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

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Enunciado

2] Cada uma das seguintes inequações determina um conjunto de pontos em R 2 e R 3 . Identificar as bolas abertas e as bolas fechadas identificando o centro e seu raio.

(e) x 2 + 4 x + y 2 < 5

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema serão dadas inequações de esferas ou círculos e nosso objetivo é identificar o centro e o raio da esfera ou do círculo.

Ok, mas como podemos descobrir isso? 👀

A inequação genérica da esfera é dada por

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 < r 2

Onde x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do centro da esfera e r é o raio da esfera.

Já a inequação do círculo é a mesma coisa só que excluindo o termo z - z 0 2

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

A inequação dada é

x 2 + 4 x + y 2 < 5

Como não temos a variável z nessa inequação, temos uma estrutura em 2 D .

Nesse caso podemos aplicar o truque de completar quadrados em x já que x + a 2 = x 2 + 2 a x + a 2 .

Aplicando esse truque na inequação, vemos que a = 2 e como não temos a 2 , podemos adicioná-lo e subtrai-lo...

x 2 + 4 x + 4 - 4 + y 2 < 5

x + 2 2 - 4 + y 2 < 5

x + 2 2 + y 2 < 9

Ou seja, temos um círculo de raio 3 e centro em - 2,0

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Círculo de raio 3 e centro em - 2,0

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