Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

UFRJ - Cálculo 2 - P1 2008.1 - 4ª

Seja a quádrica cuja equação cartesiana é dada por 2 x 2 + y 2 + 2 y + z 2 = 9 .

Identifique a quádrica.

Passo 1

Identificar a quádrica:

A equação da quádrica tem termos y 2 e y .

Portanto, precisamos completar quadrados:

y 2 + 2 y + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Comparando termo a termo:

a 2 = y 2 2 a b = 2 y b 2 = b 2

Resolvendo o sistema, encontramos que:

a = y   b = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Voltando à equação da quádrica e somando b 2 = 1 nos dois lados:

2 x 2 + y 2 + 2 y + 1 y + 1 2 + z 2 = 9 + 1

2 x 2 + y + 1 2 + z 2 = 10

Dividindo tudo por 10 :

x 2 5 + y + 1 2 10 + z 2 10 = 1

Logo, essa quádrica é um elipsoide com centro em ( 0 ,   - 1 ,   0 ) .

Resposta

Elipsoide com centro em ( 0 ,   - 1 ,   0 ) .

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