Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

Determine a equação de uma elipse que passe pelo ponto 0 ,   1 ,   6 e intersecte o plano z = 0 ,   na elipsoide x 2 + y 2 / 4 = 1 .

Passo 1

Pra resolver essa você precisa lembrar inicialmente que a equação do elipsoide é

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Como ela intersecta o plano z = 0 , temos

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Logo, comparando com a elipse dada no enunciado

x 2 + y 2 4 = 1 → x 2 1 + y 2 2 2 = 1

Temos então

a = 1 ,   b = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos ainda descobrir o valor de c para podermos completar

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Por enquanto sabemos que a equação vai ser

x 2 1 2 + y 2 2 2 + z 2 c 2 = 1

Mas ainda não temos o c . Para encontramos esse valor, substituímos o ponto 0,1 , 6 que nos foi dado na equação

0 2 1 2 + 1 2 2 2 + 6 c 2 = 1

1 4 + 6 c 2 = 1

6 c 2 = 3 4 → 3 c 2 = 24

c 2 = 8

Belezinha. Podemos montar nosso resultado final então

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 → x 2 + y 2 4 + z 2 8 = 1

Resposta

x 2 + y 2 4 + z 2 8 = 1

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