Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

Seja S a superfície dada por

x 2 + 9 z 2 - 2 x - y = 0

E considere as seguintes afirmações:

  1. S é um hiperboloide de uma folha
  2. A interseção entre S e o plano z = 1 é uma parábola neste plano
  3. A interseção entre S e o plano y = - x é vazia

Indique a alternativa correta.

  1. Todas as afirmações são falsas
  2. Todas as afirmações são verdadeiras
  3. As afirmações II e III são verdadeiras e I é falsa
  4. As afirmações I e III são verdadeiras e a II é falsa
  5. A afirmação II é verdadeira e I e III são falsas

Passo 1

Temos um termo quadrático e um termo linear em x . Vamos completar quadrados em x pra descobrir que danado de superfície é essa.

x 2 + 9 z 2 - 2 x - y = 0

x - 1 2 + 9 z 2 - y = 1

Isolando o y (única variável que não está ao quadrado):

y = x - 1 2 + 9 z 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, conseguiu descobrir que superfície é essa?

Não?

Nem eu...

Mas apesar disso, logo de cara já dá pra saber que isso não é um hiperboloide de uma folha, pois na equação do hiperboloide de uma folha, todas as variáveis são elevadas ao quadrado e no caso da nossa superfície S , o y está linear.

Assim, a gente já elimina a primeira afirmativa e as alternativas b e d .

Passo 3

Agora só nos resta testar as opções II e III.

Começando pela II:

A interseção entre S e o plano z = 1 é uma parábola neste plano.

Nossa superfície S é:

y = x - 1 2 + 9 z 2 - 1

Fazendo a interseção como plano z = 1 :

y = x - 1 2 + 9 . 1 2 - 1

y = x - 1 2 + 8

E isso nada mais é que uma parábola paralela ao plano x y .

Lembrando que o plano z = 1 é paralelo ao plano x y , essa opção está verdadeira.

Passo 4

Vamos testar a afirmativa III:

A interseção entre S e o plano y = - x é vazia

Nossa superfície S é:

y = x - 1 2 + 9 z 2 - 1

Fazendo a interseção como plano y = - x :

- x = x - 1 2 + 9 z 2 - 1

- x = x 2 - 2 x + 1 + 9 z 2 - 1

x 2 - x + 9 z 2 = 0

Completando quadrados:

x - 1 2 2 + 9 z 2 = 1 4

E isso é um cilindro, portanto, essa interseção não é nada vazia!

Resposta

L e t r a   e

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