Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

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Enunciado

Questão 1. Determine o centro e o raio das seguintes esferas:

b) x 2 + y 2 + z 2 - 2 z - 8 = 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos uma equação de uma esfera, porém essa equação está desorganizada e nosso trabalho é organizá-la e definir o centro e o raio dessa esfera.

Como fazemos isso? 🤔

Com uma equação de uma esfera, podemos definir seu centro e seu raio, por exemplo, em uma equação genérica, temos

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Onde x 0 , y 0 , z 0 é o ponto onde a esfera está centrada e r é o raio dessa esfera.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A equação dada é x 2 + y 2 + z 2 - 2 z - 8 = 0

Como a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 , podemos ir moldando a os termos da equação.

Começando em x ...

x 2 + y 2 + z 2 - 2 z - 8 = 0

Como aparece o termo x 2 sozinho, podemos imaginar que o termo b seria 0 , ou seja, a função continua a mesma.

x - 0 2 + y 2 + z 2 - 2 z - 8 = 0

Agora em y , vemos não há outro termo de y que não seja o y 2 , então a mesma coisa se aplica

x - 0 2 + y - 0 2 + z 2 - 2 z - 8 = 0

E por fim, em z , temos

x - 0 2 + y - 0 2 + z 2 - 2 z - 8 = 0

Assim, vemos que b seria - 1 , ou seja

x - 0 2 + y - 0 2 + z 2 - 2 z + 1 - 8 = + 1

x - 0 2 + y - 0 2 + z - 1 2 - 8 = 1

x - 0 2 + y - 0 2 + z - 1 2 = 9

Portanto, comparando com a equação genérica do passo 1, vemos que o centro da esfera está no ponto 0,0 , 1 e tem raio r = 3 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

x - 0 2 + y - 0 2 + z - 1 2 = 9

Centro: 0,0 , 1

Raio: 3

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