Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2018.1, Questão E9

Considere a função

f x , y , z = x 2 - z 2

Seja S 1 a superfície de nível de f passando pelo ponto P = ( 1,2 , 1 ) e seja S 2 a superfície dada pela equação x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 = x + 2 y + 4 z

Dentre as superfícies, temos:

  1. Um cone com vértice no ponto ( 0 , - 1,1 )
  2. Dois planos contendo o eixo y e um elipsóide centrado no ponto 1 2 , 1 2 , 1 2
  3. Um parabolóide hiperbólico
  4. Um cilindro e uma esfera centrada no ponto 1 2 , 1 2 , 1 2
  5. Um hiperbolóide de duas folhas

Passo 1

Precisamos desvendar o que essas superfícies aí são.

Vamos começar pela primeira, que é a superfície de nível de f que passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) , ou seja

S 1   : f ( 1,2 , 1 )

f 1,2 , 1 = 1 2 - 1 2 = 0

Assim, a nossa superfície S 1 nada mais é que

x 2 - z 2 = 0

x 2 = z 2

E o que diabos é isso??

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Passo 2

Vamos pensar com calma!

Se fosse

x = z

A gente saberia que isso é um plano, certo? No R 2 a gente tem uma reta, mas como estamos do R 3 , então se o y não aparece é porque ele pode ser qualquer coisa, então, temos um plano que contém o eixo y .

Ok, mas ai o que que acontece quando a gente eleva os dois lados ao quadrado?

x 2 = z 2

Antes nós tínhamos que tem o valor de x exatamente igual ao valor de z . Agora, como temos tudo ao quadrado, o que pode acontecer é que se o x = - 1 , o z pode ser igual a 1 ou igual a - 1 porque no fim das contas teremos x 2 = z 2 . E vice versa.

Então o que acontece é que agora em vez de um plano só, nós temos dois planos contendo o eixo y , assim:

Passo 3

Agora vamos descobrir o que é a nossa superfície S 2 :

S 2   : x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 = x + 2 y + 4 z

Pra descobrir isso, precisaremos completar quadrados, já que temos termos quadráticos e lineares na equação, tanto em x , quanto em y , quanto em z .

Vamos lá.

x 2 - x + 2 y 2 - 2 y + 4 z 2 - 4 z = 0

x - 1 2 2 + 2 y - 1 2 2 + 4 z - 1 2 2 = 1 4 + 2 1 4 + 4 1 4

x - 1 2 2 + 2 y - 1 2 2 + 4 z - 1 2 2 = 1 4 + 1 2 + 1

x - 1 2 2 + 2 y - 1 2 2 + 4 z - 1 2 2 = 7 4

Dividindo os dois lados por 7 4 :

x - 1 2 2 7 4 + 2 y - 1 2 2 7 4 + 4 z - 1 2 2 7 4 = 1

x - 1 2 2 7 4 + y - 1 2 2 7 8 + z - 1 2 2 7 16 = 1

Temos então três variáveis somadas, elevadas ao quadrado e do outro lado = 1 : isso representa um elipsóide deslocado da origem, com centro em 1 2 , 1 2 , 1 2 .

Resposta

L e t r a   b

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