Exercícios Resolvidos de Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

UFRJ - Cálculo 2 - P1 2008.2 - 4.1

Considere a superfície S em R 3 dada pela equação x 2 - 2 x + y 2 + z 2 - 4 z = 6 .

Identifique a superfície quádrica S e desenhe a figura correspondente a essa quádrica.

Passo 1

Identificar a quádrica:

A equação da quádrica tem termos x 2 e x , e z 2 e z .

Portanto, precisamos completar quadrados:

x 2 - 2 x + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Comparando termo a termo:

a 2 = x 2 2 a b = - 2 x b 2 = b 2

Resolvendo o sistema, encontramos que:

a = x   b = - 1

Fazendo o mesmo para a variável z :

z 2 - 4 z + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Comparando termo a termo:

a 2 = z 2 2 a b = - 4 z b 2 = b 2

Resolvendo o sistema, encontramos que:

a = z   b = - 2

Voltando à equação da quádrica e somando as devidas parcelas nos dois lados:

x 2 - 2 x + 1 x - 1 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 4 z - 2 2 = 6 + 1 + 4

x - 1 2 + y 2 + z - 2 2 = 11

Logo, essa quádrica é uma esfera com centro em ( 1 ,   0   , 2 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

- ''

Resposta

Esta quádrica é uma esfera com centro em ( 1 ,   0   , 2 ) :

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