Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

Ver Teoria

Enunciado

Assumindo que f e f ' estão definidas em [ - L , L ] , verifique que f ' é ímpar se f é par e viceversa.

Passo 1

Oiie, belezinha?

Temos uma função qualquer f definida em um intervalo simétrico [ - L , L ] . Queremos mostrar que, se ela tem paridade bem definida, sua paridade troca quando calculamos a sua derivada. Uma função de paridade par tem o comportamento

f ( x ) = f ( - x )

e, uma função de paridade ímpar tem o comportamento

f ( x ) = - f ( - x )

Vamos usar essa propriedade e a regra da cadeia para demonstrar o que foi pedido! Vem comigo!

Passo 2

Vamos primeiro começar com uma função par, temos que

f ( x ) = f ( - x )

vamos derivar os dois lados em relação a x , de forma que obtemos

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ f ( - x ) ]

pela regra da cadeia, temos que o lado direito pode ser escrito como

d d x [ f ( - x ) ] = d d x [ f ( - x ) ] d d x [ - x ] = - d d x [ f ( - x ) ]

Portanto, temos que

f ' ( x ) = - f ' ( - x )

que é a definição de uma função ímpar! O processo para demonstrar o caminho reverso é o mesmo! Apenas precisamos partir da definição de função ímpar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Faça os gráficos das funções nos Exercícios 37-46. Que simetrias, se houver, possuem os gráficos? Especifiqueos intervalos dentros dos quais a função é crescente e os intervalos em que ela é decrescen
a) Se o ponto ( 5 ,3 ) estiver no gráfico de uma função par, que outro ponto também deverá estar no gráfico? b) Se o ponto ( 5 ,3 ) estiver no gráfico de uma função ímpar, que outro ponto também dever
Faça os gráficos das funções nos Exercícios 37-46. Que simetrias, se houver, possuem os gráficos? Especifiqueos intervalos dentros dos quais a função é crescente e os intervalos em que ela é decrescen
Nos Exercícios 47-58, diga se a função é par, ímpar ou nenhuma delas. Jusifique sua resposta.47. f ( x ) = 3