Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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Enunciado

12. Qual das funções abaixo é par?

  1. f x = x 5 - 3 x 4 + 7 ;
  2. f x = 2 x 2 - 4 2 x + 1 ;
  3. f x = 3 x   s e n   x - 3 cos ⁡ x ;
  4. f x = 2 x + 3 x ;
  5. f x = | x + 1 | .  

Passo 1

Fala aí pessoal! Essa questão tá querendo que a gente encontre, naquelas opções, a única função que é par. Beleza! Vamos ter que lembrar que uma função par é aquela que se trocarmos x por - x   ela não muda: f - x = f ( x )

Então vamos fazer f ( - x ) para cada uma das funções e ver qual que é par. Partiu!!

Passo 2

Vamos começar com f x =   x 5 - 3 x 4 + 7 . Esse cara a gente já suspeita que não seja par. Por que? Pois essa função possui um expoente ímpar de x , aquele x 5 já não vai nos ajudar. Vamos ver:

f - x = - x 5 - 3 - x 4 + 7

Lembrando que um número negativo elevado a um expoente par fica positivo e um número negativo elevado a um expoente ímpar continua negativo, temos f - x =   - x 5 - 3 x 4 + 7

Que é diferente da função f ( x ) , ou seja, não é uma função par

Passo 3

Será que é essa função f x = 2 x 2 - 4 2 x + 1 ? De novo, temos um expoente ímpar de x , já to achando que não vai dar. Vamos ver...

f - x =   2 - x 2 - 4 2 - x + 1 f - x =   2 x 2 - 4 - 2 x + 1 =   2 x 2 - 4 1 - 2 x

Que é diferente da função f ( x ) , ou seja, não é uma função par ☹

Passo 4

Olha, não vou mentir que eu suspeito que essa função f x = 3 x sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x seja nosso alecrim dourado. Apesar dele ter um x ali (que é uma função ímpar), esse termo está multiplicado por uma função sen ⁡ x que também é ímpar. O produto de duas funções ímpares é uma função par... Vamos testar:

f - x = 3 ( - x ) sen ⁡ ( - x ) - 3 cos ⁡ ( - x )

Lembrando que

sen ⁡ - x =   -   sen ⁡ x cos ⁡ - x = cos ⁡ x

Temos

f - x =   - 3 x .   - sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x

f - x = 3 x sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x    

Dessa maneira temos

f - x = f ( x )

Que significa que f ( x ) é uma função par. EBAA! Encontramos a resposta! 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra c.

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