Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

Ver Teoria

Enunciado

4. Seja f :   R → R uma função períodica. Considere as quatro seguintes afirmações:

  1. f não é par.
  2. f é impar.
  3. f não é bijetora.
  4. Para um dada y   ϵ   R , a equação f x = y ou não possui solução ou possui infinitas soluções.

São corretas:

  1. Somente I V
  2. Somente I ,   I I   e   I I I
  3. Somente I I I   e   I V
  4. Todas
  5. Somente I   e   I V

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que verificar qual frase é verdade. Para isso temos que lembrar o que é uma função periódica.

Elas são aquelas nas quais os valores da função ( f ( x )   =   y )   se repetem para determinados valores da variável x .

Duas função periódicas bem famosas são, a função seno e a função cosseno.

Agora vamos analisar cada afirmação em separado!

Passo 2

A primeira afirmação diz que f não pode ser par. Para quem não lembra uma função par é aquela que

f - x = f x

Uma exemplo de função par é a função seno! Opaaa, ela é periódica também. Ou seja, essa afirmação é falsa.

Passo 3

Aproveitando o mesmo raciocínio! Temos que uma função impar é aquela onde

f x = - f x

E como comentamos na letra anterior: seno é uma função periódica e par, ou seja, essa afirmação também é falsa.

Passo 4

Na afirmação temos I I I temos que verificar se a função é bijetora. Para quem não lembra,

- Uma função f é injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de f : x 1 ≠ x 2

Tivermos:

f x 1 ≠ f ( x 2 )

- Uma função f é sobrejetora se para cada valor de y existir ao menos um valor de x associado:

y 1 → x 1

- Uma função bijetora é aquela é injetora e sobrejetora.

Como nenhuma função periódica é injetora, pois para diferentes x teremos o mesmo f x . Temos que ela não será bijetora. Ou seja, esta afirmação é verdadeira.

Passo 5

Por fim, temos que:

- I V Para um dada y   ϵ   R , a equação f x = y ou não possui solução ou possui infinitas soluções.

Se y pertece ao Reais, ou temos uma função com soluções infinitas que se repetem a cada intervalo de x   (exemplo: função tangente) ou ela não terá solução que se repete, não sendo periódica. Logo está é verdadeira.

Resposta

c

Exercícios de Livros Relacionados

Faça os gráficos das funções nos Exercícios 37-46. Que simetrias, se houver, possuem os gráficos? Especifiqueos intervalos dentros dos quais a função é crescente e os intervalos em que ela é decrescen
a) Se o ponto ( 5 ,3 ) estiver no gráfico de uma função par, que outro ponto também deverá estar no gráfico? b) Se o ponto ( 5 ,3 ) estiver no gráfico de uma função ímpar, que outro ponto também dever
Faça os gráficos das funções nos Exercícios 37-46. Que simetrias, se houver, possuem os gráficos? Especifiqueos intervalos dentros dos quais a função é crescente e os intervalos em que ela é decrescen
Nos Exercícios 47-58, diga se a função é par, ímpar ou nenhuma delas. Jusifique sua resposta.47. f ( x ) = 3