Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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Enunciado

Nos exercícios 31 a 46 esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

40. g ( x ) = 4 + 25 - x 2 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinhooo?

Primeiramente, vamos plotar o gráfico desta função. Para desenhar, devemos plotar alguns pontos. Observe que a função modular é sempre positiva, então, quando traçamos o gráfico, as retas, parábolas e outra funções com modulo são traçados somente para y ≥ 0 .

Pontos:

Para x = 0 :

g ( 0 ) = 4 + 25 - 0 2 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

Calculando, temos

g ( 0 ) = 4 + 25 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

g ( 0 ) = 9 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

Logo, 9 é o ponto máximo da nossa função quadrática no eixo y .

Logo, o ponto será P 1 = ( 0 , 9 )

Para y = 0 :

0 = 25 - x 2

Elevando tudo ao quadrado para remover a raiz:

0 2 = 25 - x 2 2

0 = 25 - x 2

0 = 25 - x 2

Assumindo   x real,

x 2 - 25 = 0

x 2 = 25

x = 25 = ± 5

Note que neste caso, obtemos dois pontos que correspondem a parte negativa e a parte positiva do eixo x da função modular.

P 2 = ( 5 , 0 )

P 3 = ( - 5 , 0 )

Como a função é uma parábola, podemos então marcar estes pontos e traçar a curvatura da parábola.

Já quando

g x = 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

temos uma reta igual a 4.

Ambas as funções que compõem g(x) se interceptam em ( - 5,4 ) e ( 5,4 ) .

Nosso gráfico então será:

Passo 2

Vamos agora determinar o domínio e a imagem da função dada no enunciado.

Lembre-se que:

Domínio: são os valores possíveis de x   para esta função;

Imagem: são os valores possíveis de y   para esta função;

Bom, o domínio desta função são todos os reais. Por que? Isso porque a função permite tanto valores positivos quanto negativos como entrada. Podemos colocar qualquer valor real em x . Isso ocorre porque mesmo que exista a raiz que não pode ter entrada negativa, o número está sendo elevado ao quadrado, ou seja, ele será positivo sempre no intervalo determinado da função quadrática.

Logo

D m = R

Já a imagem será todos os valores positivos de [ 4,9 ] . Já que a função existe apenas nesta parte do eixo y .

I m = [ 4,9 ]

Passo 3

Por fim, vamos verificar a paridade da função.

Uma função será par se: f - x = f ( x )

Uma função será ímpar se: f - x = - f ( x )

Vamos verificar na nossa função?

Substituindo um valor qualquer para y , temos:

Para y = 5 :

g ( 5 ) = 4 + 25 - 5 2 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

g ( 5 ) = 9 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

Para y = - 5 :

g ( - 5 ) = 4 + 25 - - 5 2 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

g ( - 5 ) = 9 ,   s e - 5 ≤ x ≤ 5 4 ,     s e   x < - 5   o u   x > 5

Então podemos ver que f - x = f ( x ) , logo a função é par!

Até mais!

Resposta

D m = R

I m = [ 4,9 ]

A função é par

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