Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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Enunciado

Nos exercícios 31 a 46 esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

45. y = 1 - x 2 ,   - 1 < x < 1 x 2 - | x | ,     x ≤ - 1   o u   x ≥ 1

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinhooo?

Primeiramente, vamos plotar o gráfico desta função. Para desenhar, vamos encontrar as raízes das funções que compõem nossa função por partes.

Para - 1 < x < 1 :

1 - x 2 = 0

x 2 = 1

x = 1

x = ± 1

Para x ≤ - 1   o u   x ≥ 1 :

x 2 - x = 0

Tirando do modulo

f x = x 2 + 1 ,     x < 0 x 2 - 1 ,     x ≥ 0

Nosso gráfico então será composto pela junção desses dois gráficos como podemos ver abaixo

Considerando a interseção o gráfico da nossa função será

Passo 2

Vamos agora determinar o domínio e a imagem da função dada no enunciado.

Lembre-se que:

Domínio: são os valores possíveis de x   para esta função;

Imagem: são os valores possíveis de y   para esta função;

Bom, o domínio desta função são todos os reais. Por que? Isso porque a função modular permite tanto valores positivos quanto negativos como entrada. Podemos colocar qualquer valor real em x . Assim como na função do segundo grau.

Logo

D m = R

Já a imagem será todos os valores positivos de y . Já que a função existe apenas na parte positiva deste eixo.

I m = y ≥ 0

I m = [ 0 , + ∞ )

Passo 3

Por fim, vamos verificar a paridade da função.

Uma função será par se: f - x = f ( x )

Uma função será ímpar se: f - x = - f ( x )

Vamos verificar na nossa função?

Substituindo um valor qualquer para y , temos:

f ( 1 ) = 0 ,   - 1 < x < 1 0 ,     x ≤ - 1   o u   x ≥ 1

f ( - 1 ) = 0 ,   - 1 < x < 1 0 ,     x ≤ - 1   o u   x ≥ 1

Então podemos ver que f - x = f ( x ) , logo a função é par!

Até mais!

Resposta

D m = R

I m = [ 0 , + ∞ )

A função é par

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