Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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Enunciado

  1. Considere a f : R → R dada por f x = x e - x 2 e suas derivadas f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2   e f ' ' x = 4 x 3 - 6 x e - x 2
  1. Identique os intervalos em que essa função é positiva, negativa e determine os seus zeros (raízes). Determine se ela exibe simetrias.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós vamos começar analisando a nossa f x e dizer quando ela é positiva e negativa.

Repara que a nossa f x é um produto de duas funções: uma parte x e outra parte e - x 2 .

Vamos começar olhando a parte de exponencial e - x 2 . Então, galerinha, como a nossa base e é uma numero posivo, a nossa função exponencial sempre será positiva para qualquer x ∈ R .

Olhando a para a nossa parte x , temos que ela será negativa para o intervalo - ∞ , 0 e positiva para o intervalo ( 0 , + ∞ ) .

E como temos um produto dessas duas partes, temos que ela será negativa em - ∞ , 0 e positiva em ( 0 , + ∞ ) .

Passo 2

Outro comando que a função nos pede é para acharmos quais as raízes das funções. Ou seja, precisamos determinar quando y = 0 .

Temos que fazer então,

f x = x e - x 2 = 0

Novamente, vamos analisar a função por partes. A parte de exponencial e - x 2 sempre é positiva, então ela nunca pode zerar.

Com isso, a nossa função só pode zerar quando a parte x for igual a zero. Logo, a nós temos apenas uma raiz em x = 0 .

Passo 3

Por fim, temos que dizer se a função tem simetria! Ou seja, precisamos verificar se trata-se de uma função ímpar ou par.

Temos que a nossa função é

f x = x e - x 2

Agora vamos analisar ela para – x

f - x = - x e - - x 2 = - x e - x 2

Ou seja,

f - x = - f x

Logo, temos uma função ímpar.

Resposta

  • Positiva em 0 , + ∞
  • Negativa em - ∞ , 0
  • Raiz em x = 0
  • f x é uma função impar.

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