Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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Enunciado

Sejam f x = x + 1 x - 1 e g x = 1 x , (a) verifique se as funções dadas são pares, ímpares, ou nenhuma das alternativas, (b) encontre o domínio de f . g , f g e f ∘ g .

Passo 1

Faaaala pessoal, vamos lá!

Temos essas duas funçõezinhas:

f x = x + 1 x - 1

g x = 1 x

Pra começar, queremos saber se essas funções são pares, ímpares ou nenhuma das duas

Lembrando que uma função par é definida por f x = f ( - x ) e uma função ímpar é definida por f x = - f ( - x ) . Então vamos encontrar f ( - x ) e g ( - x ) e verificar se eles possuem alguma relação com f ( x ) e g ( x ) , respectivamente 😉

Então vamos lá verificar isso!!

Passo 2

a) Vamos começar pela função f ( x ) . Temos que

f - x = - x + 1 - x - 1 = - - x + 1 x + 1 = x - 1 x + 1

Ta, o f ( - x ) não tem nenhum tipo de relação par/ímpar com o f ( x ) , porque:

f - x ≠ - f x ≠ f ( x )

Então ela não é par nem ímpar ok?

Passo 3

Agora pra função g ( x ) :

g - x = 1 - x = - 1 x

Opa, temos que

- 1 x = - g ( x )

Portanto, g - x = - g ( x )

Logo, a função g ( x ) é ímpar ok?

Passo 4

b) Agora precisamos encontrar os domínios de diferentes relações entre essas funções. Primeiro pra multiplicação entre elas:

f . g = x + 1 x - 1 . 1 x = x + 1 x 2 - x

O domínio dessa função vai incluir todos os valores de x que não zeram o denominador, ou seja, precisamos ter

x 2 - x ≠ 0

x . x - 1 ≠ 0

Portanto, precisamos ter x ≠ 0 e x ≠ 1 , que são os valores que zeram o denominador

O domínio pra esse caso vai ser:

D = x ∈ R x ≠ 0 ,   x ≠ 1

Passo 5

Agora para a divisão entre as funções:

f g = x + 1 x - 1 1 x = x + 1 x - 1 . x = x 2 + x x - 1

O domínio dessa função vai incluir todos os valores que não zeram o denominador, ou seja:

x - 1 ≠ 0

x ≠ 1

Portanto:

D = x ∈ R x ≠ 1

Passo 6

E por fim, para a função composta f ∘ g , vamos colocar o g dentro de f :

f ∘ g = 1 x + 1 1 x - 1

Primeiramente, o x tem que ser diferente de 0 , porque isso zeraria o denominador de 1 x né hehehe

Além disso, precisamos ter

1 x - 1 ≠ 0

1 x ≠ 1

x ≠ 1

Então:

D = x ∈ R x ≠ 0 ,   x ≠ 1

Sucesso!!

Resposta

a) f ( x ) – nenhuma

g ( x ) – ímpar

b) f . g :   D = x ∈ R x ≠ 0 ,   x ≠ 1

f g :   D = x ∈ R x ≠ 1

f ∘ g :   D = x ∈ R x ≠ 0 ,   x ≠ 1

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