Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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Enunciado

Nos exercícios 31 a 46 esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

43. f x = | x 2 - 4 x + 3 | x - 1

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinhooo?

Vamos plotar o gráfico desta função. Para desenhar, devemos reescrever a função.

f x = x 2 - 4 x + 3 x - 1

Para isso vamos encontrar suas raízes:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 3 ) 2 ( 1 ) = 4 ± 4 2 =

x ' = 4 + 2 2 = 3

x ' = 4 - 2 2 = 1

Então nossa função pode ser reescrita como

f x = | x - 3 x - 1 | x - 1

Passo 2

Nossa função fora do módulo será

f x = - ( x 2 - 4 x + 3 ) x - 1 ,     x   ϵ   ( 1,3 ) x 2 - 4 x + 3 x - 1 ,     x   ϵ   - ∞ , 1 ∪ ( 3 , ∞ )

Que pode ser escrita de outra forma

f x = - ( x - 1 ) ( x - 3 ) x - 1 ,     x   ϵ   ( 1,3 ) x 2 - 4 x + 3 x - 1 ,     x   ϵ   - ∞ , 1 ∪ ( 3 , ∞ )

Simplificando, temos

f x = - ( x - 3 ) ,     x   ϵ   ( 1,3 ) ( x - 3 ) ,     x   ϵ   - ∞ , 1 ∪ [ 3 , ∞ )

Nosso gráfico então será:

Passo 3

Vamos agora determinar o domínio e a imagem da função dada no enunciado.

Lembre-se que:

Domínio: são os valores possíveis de x   para esta função;

Imagem: são os valores possíveis de y   para esta função;

Bom, o domínio desta função será de acordo com o denominador da função, que precisa ser diferente de zero, já que não podemos fazer divisão por zero.

x - 1 ≠ 0

x ≠ 1

Logo

D m = R - { 1 }

Já a imagem será os valores de y para os quais a função existe

I m = - ∞ , - 2 ∪ [ 0 , ∞ )

Passo 4

Por fim, vamos verificar a paridade da função.

Uma função será par se: f - x = f ( x )

Uma função será ímpar se: f - x = - f ( x )

Vamos verificar na nossa função?

Esta função não obedece às condições acima, pois como podemos observar pelo seu gráfico, esta função não possui simetria em relação a origem. Logo, classificamos como função nem par nem ímpar.

Até mais!

Resposta

D m = R - { 1 }

I m = - ∞ , - 2 ∪ [ 0 , ∞ )

A função não é par nem ímpar

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