Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2015.1, Questão ME9

Se A R , a equação diferencial y ' ' + 4 y ' + 4 y = 3 e - 2 x tem uma solução da forma

(a) e - 2 x + A x e - 2 x

(b) A e - 2 x

(c) A x e - 2 x

(d) nenhuma das outras alternativas

(e) x e - x + A x ² e - 2 x

Passo 1

Temos uma EDO não homogênea com a função 3 e - 2 x no lado direito. Mas a gente não pode sair dizendo “ah então a solução é da forma A e - 2 x !”. Primeiro a gente tem que calcular a solução da equação homogênea e depois a solução particular, show?

A EDO homogênea é

y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0

A equação já está na forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

com a = 1 ,     b = 4 e c = 4 .

Logo, o discriminante é

Δ = b 2 - 4 a c = 16 - 16 = 0

E a equação auxiliar é

r 2 + 4 r + 4 = 0

r = - 4 ± 0 2.1 = - 4 2 = - 2

Excelente! E como Δ = 0 a solução homogênea y h é da forma

y h x = c 1 e r x + c 2 x e r x

    y h x = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora voltando à EDO não homogênea:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = 3 e - 2 x

No lado direito temos algo do tipo A e - 2 x então, como eu disse no começo, o nosso reflexo é tentar uma solução particular y p do tipo

y p x = A e - 2 x

Mas, atenção, primeiro temos que testar se essa opção é solução da equação homogênea!

E na solução da homogênea temos um termo c 1 e - 2 x então esse “chute” não serve!

Então vamos multiplicá-lo por x , o que dá:

y p x = A x e - 2 x

Mas novamente não vai dar certo porque na y h tem um c 2 x e - 2 x .

Então temos que multiplicar de novo por x :

y p x = A x 2 e - 2 x

Agora tá tudo certo! Essa é a solução particular da equação!

Juntando com a solução homogênea, obtemos a solução geral:

y x = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x + A x 2 e - 2 x

Passo 3

A nossa solução precisa ter essa cara

y x = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x + A x 2 e - 2 x

O que pode mudar aqui é esse c 1 e o c 2 , mas em todas precisa te algo com A x 2 e - 2 x

A única alternativa que tem isso é a letra e, mas ele é somado com uma função que não tem nada de semelhante com a solução que achamos

Então nenhuma das alternativas está certa! Ou melhor, a alternativa “nenhuma das outras alternativas” está certa haha.

Resposta

Alternativa (d)

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