Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UNICAMP, Cálculo 3, P1 - 2015.2 - Noturno, Questão 4

Usando o método de coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da equação diferencial

y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = 6 x 2

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

r 3 - 3 r 2 + 2 r = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

r 3 - 3 r 2 + 2 r = 0

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o r em evidência

r r 2 - 3 r + 2 = 0

Assim vamos ter

r = 0         o u         r 2 - 3 r + 2 = 0

E

r 1 = 0

Para os outros valores de r vamos resolver

r 2 - 3 r + 2 = 0

r 2 = - - 3 + - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 + 9 - 8 2 = 3 + 1 2 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2

r 2 = - - 3 - - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 - 9 - 8 2 = 3 - 1 2 = 3 - 1 2 = 2 2 = 1

Assim vamos ter

r 1 = 0

r 2 = 2

r 3 = 1

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Repara que todas as raízes tem multiplicidade 1 , então as soluções vão ser

y 1 = C 1 e 0 x = C 1

y 2 = C 2 e 2 x

y 3 = C 3 e x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3

y h = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e x

Passo 4

Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO e para isso vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar.

y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = 6 x 2

y p = A + B x + C x 2 + D x 3

Repare que apesar da nossa função ser 6 x 2 , estamos usando um polinômio de terceiro grau como chute. Isso porque nossa derivada de menor ordem é um y ' ! Logo, se usássemos um polinômio de segundo grau, ele seria derivado e perderíamos nosso x 2 . Se nossa EDO tivesse um termo apenas com y , então poderíamos usar um polinômio de segundo grau como chute.

Assim vamos ter

y p ' = B + 2 C x + 3 D x 2

y p ' ' = 2 C + 6 D x

y p ' ' ' = 6 D

Substituindo na Edo vamos ter

6 D - 3 2 C + 6 D x + 2 B + 2 C x + 3 D x 2 = 6 x 2

6 D x 2 + x 4 C - 18 D + 2 B - 6 C + 6 D = 6 x 2

Disso obtemos.

6 D = 6

4 C - 18 D = 0

2 B - 6 C + 6 D = 0

Resolvendo esse sistema teremos.

D = 1 ,     C = 9 2 ,     B = 21 2

A constante A não apareceu então como estamos procurando uma solução particular podemos fazer A = 0 . Assim a solução particular será.

y p = 21 2 x + 9 2 x 2 + x 3

Passo 5

A nossa solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e x + 21 2 x + 9 2 x 2 + x 3

Resposta

y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e x + 21 2 x + 9 2 x 2 + x 3

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