Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Questão 1 - Determine a solução geral da seguinte EDO.

y ' ' - 4 y ' + 8 y = - 8 x 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é obter a solução geral da EDO y ' ' - 4 y ' + 8 y = - 8 x 2 .

Perceba que nossa equação é uma equação de segunda ordem não homogênea.

Tem ideia de como obtemos a solução geral dessa EDO? 🤔

Para equações de segunda ordem não homogêneas, seguimos uma receitinha para obter sua solução:

Primeiro calculamos a solução da equação considerando a EDO homogênea, ou seja, no lugar de - 8 x 2 , consideramos 0 .

E depois calculamos a solução particular da equação, que no caso é um polinômio - 8 x 2 .

Com ambas as soluções calculadas, a solução geral será dada pela soma da solução homogênea com a solução particular!

Sacou? Bora começar! 👍

Passo 2

Vamos começar pela solução homogênea y h .

y ' ' - 4 y ' + 8 y = 0

Nesse caso, temos uma EDO de coeficientes constantes, portanto sua solução terá a seguinte característica y h = e r x

Assim, calculamos a primeira e a segunda derivada de y h para substituir na EDO.

Derivando y h pela regra da cadeia...

y h ' = r e r x

Já a segunda derivada, também pela regra da cadeia, é dada por

y h ' ' = r 2 e r x

Substituindo y ' ' , y ' e y por y h ' ' , y h ' e y h respectivamente na EDO homogênea, temos

r 2 e r x - 4 r e r x + 8 e r x = 0

r 2 e r x - 4 r e r x + 8 e r x = 0

Colocando e r x em evidência...

e r x r 2 - 4 r + 8 = 0

Como e r x nunca é igual a 0 , então obrigatoriamente

r 2 - 4 r + 8 = 0

Essa equação que encontramos é a que chamamos de equação característica!

Tranquilo até aqui? 🤩

Passo 3

A partir dessa equação característica, obtemos r 1 e r 2 a partir da fórmula de Bhaskara e de acordo com o valor de , a solução homogênea final terá uma cara diferente.

Calculando as raízes r 1 e r 2 de r 2 - 4 r + 8 = 0 , vamos obter

∆ = b 2 - 4 · a · c = - 4 2 - 4 · 1 · 8

∆ = - 16

Com obtido, fazemos

r 1,2 = - b ± ∆ 2 · a

r 1,2 = - - 4 ± - 16 2

r 1,2 = 4 ± 16 - 1 2

A partir de r 1,2 , vemos que as raízes da equação homogênea são dadas por

r 1,2 = 4 ± 4 - 1 2 → r 1 = 2 + 2 i r 2 = 2 - 2 i

Como falamos no início do passo 3, a solução muda de acordo com o valor de . Nesse caso ∆ < 0 , portanto a solução homogênea será

y h = e a x c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n b x

Onde r 1,2 = a ± b i . Assim, vemos que a = b = 2 , logo

y h = e 2 x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x

E essa é a solução final da equação homogênea! 😁

Passo 4

O próximo passo é obter a solução particular.

No caso, a equação dessa solução é dada por

g x = - 8 x 2

Ou seja, um polinômio de grau 2.

Portanto, a solução particular terá a seguinte cara para esse caso

y p = A x 2 + B x + C

E agora o que vamos fazer é obter a primeira e a segunda derivada de y p e substituir na EDO.

Pelo método de derivação polinomial...

y p ' = 2 A x + B

y p ' ' = 2 A

Substituindo y p ' ' , y p ' e y p no lugar de y ' ' , y ' e y em y ' ' - 4 y ' + 8 y = - 8 x 2   ...

2 A - 4 2 A x + B + 8 A x 2 + B x + C = - 8 x 2

8 A x 2 + 8 B - 8 A x + 8 C + 2 A - 4 B = - 8 x 2

Por igualdades de polinômios, vemos que

8 A = - 8 8 B - 8 A = 0 8 C + 2 A - 4 B = 0

A partir desse sistema, temos que A = - 1 e, portanto...

8 B - 8 A = 0 → 8 A = 8 B

B = - 1

E da terceira equação...

8 C + 2 A - 4 B = 0 → C = - 2 A + 4 B 8

C = - 1 4

Dessa forma, a solução particular será dada por

y p = A x 2 + B x + C

y p = - x 2 - x - 1 4

Se a solução geral y é dada pela soma de y h com y p , então a solução geral é...

y = e 2 x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x - x 2 - x - 1 4

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y = e 2 x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x - x 2 - x - 1 4

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