Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

Teste 8: Um menino utiliza um estilingue para disparar verticalmente para cima uma pedra de massa m > 0 a uma velocidade inicial v 0 . A resistência do ar exerce um amortecimento do movimento proporcional à velocidade do corpo, exercendo uma força de intensidade k v quando a velocidade da pedra é v , sendo k > 0 consatante. Considerando que a aceleração da gravidade é constante e igual a g , então a altura máxima atingida pela pedra é:

  1. m v 0 k + 2 g m 2 k 2 ln ⁡ g m g m + k v 0
  2. m v 0 k - g m 2 k 2 ln ⁡ g m g m - k v 0
  3. m v 0 k + g m 2 k 2 ln ⁡ g m g m - k v 0
  4. m v 0 k + g m 2 k 2 ln ⁡ 2 g m g m + k v 0
  5. m v 0 k - g m 2 k 2 ln ⁡ 2 g m g m + k v 0

Passo 1

Vamos primeiro modelar o problema em si, para depois encontrar essas soluções, ok? Se desenharmos o diagrama de copo livre na pedrinha que está subindo vamos ter isso aqui:

Portanto a força resultante de Newton será a soma dessas duas únicas forças atuando no objeto:

F R = P + F r

Ora a força peso é...

P = m g

Enquanto eu a força de resistência do ar é...

F r = - k v

Esse menos aí é só pra indicar que a velocidade está no sentido contrário ao sentido da força ok? Lembrando que a força Newtoniana é:

F R = m a

Ora, a aceleração nada mais é do que...

a = y ' ' t

Enquanto que a velocidade...

v = y ' t

Assim, ficamos com...

F R = P + F r →

m y ' ' = m g - k y ' →

m y ' ' + k y ' = m g       →

Dividindo todo mundo por m ...

y ' ' + k m y ' = g  

Partiu resolver essa EDO?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte homogênea da EDO por comparação com a equação característica...

r 2 + k m r = 0       →

Ganhamos...

r 1 = 0       →

r 2 = - k m

Então a solução da parte homogênea é...

y h = C 1 + C 2 e - k m   x

Passo 3

Pra solução particular, pela função que torna a EDO não homogênea ser uma constante ( g ) :

y ' ' + k m y ' = g  

Normalmente chutaríamos para a solução particular uma constante também...

y p = A

Mas como a solução homogênea já contém a solução constante, a gente adiciona um x na constante...

y p = A x

Calculando as derivadas...

y p ' = A

y p ' ' = 0

E substituindo na EDO...

y ' ' + k m y ' = g       →

k m A = g       →

A = m g k    

Então a solução geral é...

y = C 1 + C 2 e - k m   x + m g k x

Passo 4

Não resolvemos o nosso problema ainda, já que temos que encontrar a altura y máxima da bolinha e não podemos fazer isso se não conhecermos quem são as constantes C 1 e C 2 . Ora, para encontrar essas constantes, vamos aplicar as condições iniciais...

A primeira condição inicial é de que no tempo 0 a pedra não subiu nada ainda, pois o garoto nem a atirou pra cima (ainda), então...

y 0 = 0   →

y 0 = C 1 + C 2 = 0

C 1 = - C 2

A outra condição nos fala que no tempo t = 0 a velocidade inicial é v 0 . Ora, sabemos que a derivada de y representa a velocidade...

y ' = - k m C 2 e - k m   x + m g k   →

y ' 0 = - k m C 2 e 0 + m g k = v 0   →

- k m C 2 + m g k = v 0   →

C 2 = m 2 g k 2 - v 0 m k

Portanto a solução do nosso problema é:

y = - m 2 g k 2 - v 0 m k + m 2 g k 2 - v 0 m k e - k m   x + m g k x

Esse y nos dá a altura da pedra em cada tempo x . Para encontrar a maior altura, temos que lembrar que uma função atinge o seu máximo ou mínimo local quando y ' x = 0 , então igualando a derivada a 0 e descobrindo que tempo é esse...

y ' = - k m C 2 e - k m   x + m g k   →

0 = - k m m 2 g k 2 - v 0 m k e - k m   x + m g k   →

Simplificando...

k m m 2 g - v 0 m k k 2 e - k m   x = m g k   →

m g - v 0 k e - k m   x = m g   →

e - k m   x = m g m g - v 0 k       →

Colocando l n dos dois lados...

- k m   x = ln ⁡ m g m g - v 0 k       →

  x = - m k ln ⁡ m g m g - v 0 k       →

Esse é o tempo que a pedra atinge o máximo. A altura máxima é...

y = - m 2 g - v 0 k m k 2 + m 2 g - v 0 k m k 2 m g m g - v 0 k - m 2 g k 2 ln ⁡ m g m g - v 0 k

Simplificando...

y = - m 2 g k 2 + v 0 k m k 2 + m 2 g k 2 - v 0 k m k 2 m g m g - v 0 k - m 2 g k 2 ln ⁡ m g m g - v 0 k

y = m 2 g k 2 - v 0 k m k 2 - m g - v 0 k m g - v 0 k + m g m g - v 0 k - m 2 g k 2 ln ⁡ m g m g - v 0 k

y = m 2 g k 2 - v 0 k m k 2 v 0 k m g - v 0 k - m 2 g k 2 ln ⁡ m g m g - v 0 k

y = m 2 g - v 0 k m v 0 k k 2 m g - v 0 k - m 2 g k 2 ln ⁡ m g m g - v 0 k

y = m m g - v 0 k v 0 k k 2 m g - v 0 k - m 2 g k 2 ln ⁡ m g m g - v 0 k

y = m v 0 k - m 2 g k 2 ln ⁡ m g m g - v 0 k

Resposta

b )     m v 0 k - g m 2 k 2 ln ⁡ g m g m - k v 0

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