Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Considere a série de funções trigonométricas ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x + sin ⁡ n π x .

  1. Analise a convergência pontual e uniforme da mesma;
  2. Denotando a soma da série por g ( x ) , prove que g é contínua em [0,1];
  3. Determine o valor dos coeficientes a n na identidade ∫ 0 1 g ( x ) d x = 1 π ∑ n = 1 ∞ a n , justificando os cálculos.

Passo 1

Fala galerinha de casa! Como estas funções trigonométricas são limitadas usaremos o

Teste M de Weierstrass. Segundo este se uma série de termos f n ( x ) é tal que:

0 ≤ | f n ( x ) | ≤   M n                   x ∈ I   , ∀   n ≥ N

Onde M n é uma sequência de constantes tal que ∑ n = 0 ∞ M n converge, então a série ∑ n = 0 ∞ f n ( x ) converge uniformemente em I . Isto é

0 ≤ 1 n 2 cos ⁡ n π x + sin ⁡ n π x = 2 n 2 sin ⁡ π 4 cos ⁡ n π x + sin ⁡ n π x cos ⁡ π 4

= 2 sin ⁡ π 4 + n π x n 2 ≤ 2 n 2 ,             x ∈ R

A série de termos M n = 2 n 2 é da forma ∑ 1 n p , a qual converge para n > 1 .   Assim, pelo teste M de Weierstrass, como a série de termos M n = 2 n 2 converge, as inequações acima resultam na convergência uniforme da série de funções trigonométricas em todo eixo real. Obviamente, se uma série converge uniformemente, então converge pontualmente.

Resposta

Converge pontual e uniformemente em todo eixo real.

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