Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Questão 3 - Determine uma solução particular da EDO y ' ' - 2 y ' + y = e x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nosso objetivo nesse problema é obter a solução particular da EDO dada por y ' ' - 2 y ' + y = e x .

Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea cuja função não homogênea é dada por g x = e x . Essa informação é muito importante!

Mas tem ideia do que podemos fazer para obter essa solução particular? 🤔

A solução particular é obtida apenas tendo como base a função g x , no caso em que g x = A e b x , consideramos a solução como y = α e b x .

Mas antes temos que obter a solução homogênea de modo a verificarmos se a solução homogênea são será obtida como a solução particular.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Então a primeira coisa que temos que fazer é calcular a solução homogênea pois a solução particular é obtida por e x , que é uma estrutura muito parecida com a solução homogênea.

Para obter a solução homogênea, temos que primeiro obter a equação característica.

Pra isso, fazemos que y h = e r x

Pela regra da cadeia, obtemos que as derivadas de y são...

y ' = d r x d x · d e u d u

y ' = r e r x

Já a derivada de segunda ordem...

y ' ' = r d r x d t · d e u d x

y ' ' = r 2 e r x

Substituindo y , y ' e y ' ' na EDO, a considerando homogênea...

y ' ' - 2 y ' + y = 0

r 2 e r x - 2 r e r x + e r x = 0

Colocando e r x em evidência, temos

r 2 - 2 r + 1 e r x = 0

e r x nunca pode ser igual a 0 , então obrigatoriamente r 2 - 2 r + 1 deve ser igual a 0 .

Logo, nossa equação característica é dada por

r 2 - 2 r + 1 = 0

O próximo passo é calcular as raízes dessa equação para substituir em y h

A partir da equação característica, encontramos apenas uma raiz

r 1 = r 2 = 1

Portanto, a solução homogênea é dada por

y h = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

y h = c 1 e x + c 2 x e x

Como r 1 e r 2 são iguais, temos que acrescentar x em um dos termos.

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Como vimos no passo 1, a solução particular é obtida a partir da função não homogênea, ou seja, a partir de g x = e x .

Dessa forma, a solução particular y p é dada a partir da solução genérica de g x , ou seja f x e b x

y p = α e b x = f x e b x

Mas temos que acrescentar x 2 já que e b x e x e b x já faz parte da solução homogênea y h .

Com isso, nossa nova solução particular é dada por y p = α x 2 e b x , então vamos substituir y p , y p ' e y p ' ' na EDO.

Calculando a derivada de primeira ordem pela regra do produto e a regra da cadeia, temos

y p ' = α d x 2 d x e b x + x 2 d b x d x · d e u d u

y p ' = 2 α x e b x + α b x 2 e b x

Já a derivada de segunda ordem é dada também pela regra do produto com a regra da cadeia em cada termo.

y p ' ' = 2 α d x d x e b x + x d b x d x · d e u d u + α b d x 2 d x e b x + x 2 d b x d x · d e u d u

y p ' ' = 2 α e b x + 2 α b x e b x + 2 α b x e b x + α b 2 x 2 e b x

y p ' ' = 2 α e b x + 4 α b x e b x + α b 2 x 2 e b x

Substituindo y , y ' e y ' ' na EDO, temos

y ' ' - 2 y ' + y = e x

2 α e b x + 4 α b x e b x + α b 2 x 2 e b x - 2 2 α x e b x + α b x 2 e b x + α x 2 e b x = e x

2 α e b x + 4 α b x e b x + α b 2 x 2 e b x - 4 α x e b x - 2 α b x 2 e b x + α x 2 e b x = e x

2 α e b x + α b 2 x 2 e b x - 2 α b x 2 e b x + α x 2 e b x = e x

Colocando e b x em evidência...

2 α + α b 2 x 2 - 2 α b x 2 + α x 2 e b x = e x

Por igualdade de polinômios, vemos que

2 α + α b 2 x 2 - 2 α b x 2 + α x 2 = 1

e b x = e x

Entendeu essa parte? 😁

Passo 4

Assim, na segunda equação vemos que b = 1 ... substituindo na primeira equação, temos

2 α + α 1 2 x 2 - 2 α 1 x 2 + α x 2 = 1

2 α + α x 2 - 2 α x 2 + α x 2 = 1

2 α = 1

Assim vemos que

α = 1 2

Portanto, se a solução particular é dada por

y p = α x 2 e b x

E vimos que b = 1 e α = 1 / 2 , então a solução particular da EDO é

y p = x 2 2 e x

E esse é o resultado que estávamos procurando!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y p = x 2 2 e x

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