Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine a solução geral das EDO’s:

a) y ' ' ' - y ' ' - y ' + y = 2 e x + 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO não homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela usando o método dos coeficientes indeterminados. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Pra construir nossa solução geral, nós vamos precisar de uma solução pra EDO homogênea, fazendo y ' ' ' - y ' ' - y ' + y = 0 , e uma solução particular que vai ter o mesmo formato da função que tá no lado direito da equação, que no caso é 2 e x + 3 .

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem tamb��m podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução da parte homogênea é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

A parte dos coeficientes indeterminados tá relacionada com a solução particular que nós falamos. Assim, nós vamos chutar uma solução particular que tenha o mesmo formato da função do lado direito, derivar essa solução três vezes e substituir na equação. Com isso, nós vamos determinar coeficientes pra nossa solução particular, que vai ser somada a solução homogênea pra nos dá a solução geral:

y x = y h ( x ) + y p ( x )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a EDO homogênea:

y ' ' ' - y ' ' - y ' + y = 0

Temos a equação característica:

r 3 - r 2 - r + 1 = 0

Vamos agrupar os termos colocando r em evidência:

r 2 r - 1 - ( r - 1 ) = 0

r - 1 r 2 - 1 = 0

Pra que esse produto seja igual a zero, r - 1 = 0 ou r 2 - 1 = 0 . Daí, podemos descobrir as raízes da equação:

r - 1 = 0 �� r = 1

r 2 - 1 = 0 → r = ± 1

Passo 3

Repare que nós temos três raízes reais e duas delas são iguais, o que nos dá uma solução do tipo:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x

Substituindo as nossas raízes:

y h x = c 1 e - x + c 2 e x + c 3 x e x

Agora vamos achar nossa solução particular.

Passo 4

Como a nossa função é 2 e x + 3 e nossa solução homogênea já tem um x e x (que não pode se repetir), então nós vamos chutar uma solução do tipo:

y p = A x 2 e x + B

Derivando essa equação, temos:

y p ' = 2 A x e x + A x 2 e x

Vamos derivar mais duas vezes:

y p ' ' = A x 2 e x + 4 A x e x + 2 A e x

y p ' ' ' = A x 2 e x + 6 A x e x + 6 A e x

Substituindo y p ' ' ' , y p ' ' e y p ' na equação y ' ' ' - y ' ' - y ' + y = 2 e x + 3 , temos:

A x 2 e x + 6 A x e x + 6 A e x - A x 2 e x + 4 A x e x + 2 A e x - 2 A x e x + A x 2 e x + A x 2 e x + B = 2 e x + 3

Simplificando esse negoção, nós chegamos em:

6 A e x - 2 A e x + B = 2 e x + 3

4 A e x + B = 2 e x + 3

Agora vamos igualar os termos de mesma ordem pra descobrir nossos coeficientes:

4 A = 2 → A = 1 2

B = 3

Substituindo todos os coeficientes em y p , temos nossa solução particular:

y p = x 2 2 e x + 3

Juntando a solução homogênea com a solução particular, temos nossa solução geral:

y x = c 1 e - x + c 2 e x + c 3 x e x + x 2 2 e x + 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e - x + c 2 e x + c 3 x e x + x 2 2 e x + 3

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