Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Determine a solução geral das equações diferenciais não homogênea

d ) y ' ' ' + 6 y ' ' + 9 y ' = 27 e 3 t

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária não homogênea com coeficientes constantes

y ' ' ' + 6 y ' ' + 9 y ' = 27 e 3 t

A solução desse tipo de equação é a soma da solução da equação diferencial homogênea associada (parte em que fazemos = 0 do lado direito) com a solução da não homogênea

y = y h + y n h

Para resolver a parte homogênea vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 3 + 6 m 2 + 9 m = 0

A ideia aqui é resolver essa equação, encontrando suas raízes: m 1 , m 2 , m 3 (polinômio de terceira ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t + c 3 e m 3 t

Beleza? Para a parte não homogênea, vamos supor solução do mesmo tipo! No nosso caso y n h = A e 3 t . Com essa solução vamos substituir na equação e achar quem é esse A !

Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução homogênea em termos das constantes mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver a homogênea associada

m 3 + 6 m 2 + 9 m = 0

m m 2 + 6 m + 9 = 0

Você pode fatorar do jeito que preferir! Eu vou usar báskara!

m = - ( 6 ) ± ( 6 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 9 ) 2 ( 1 ) = - 3

( m = 0 ) e duas raízes iguais m = - 3 , então na nossa solução temos que multiplicar um t em uma das exponenciais para tirar a duplicidade das raízes iguais

Tudo bem até aqui? A solução da parte homogênea fica assim

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t + c 3 e m 3 t

y h = c 1 e 0 t + c 2 e - 3 t + c 3 t e - 3 t

= c 1 + c 2 e - 3 t + c 3 t e - 3 t

Bora pra parte não homogênea?

Passo 3

Beleza? Nosso passo final é achar a solução da equação associada não homogênea!

y ' ' ' + 6 y ' ' + 9 y ' = 27 e 3 t

Vamos supor solução do tipo

y n h = A e 3 t

Derivando e substituindo na equação temos

y ' = 3 A e 3 t ,   y ' ' = 9 A e 3 t ,   y ' ' ' = 27 A e 3 t

Temos

27 A e 3 t + 6 . 9 A e 3 t + 9.3 A e 3 t = 27 e 3 t

Dividindo tudo por e 3 t

27 A + 54 A + 27 A = 27 → A = 1 4

Beleza? Aí nossa solução da parte não homogênea é

y n h = 1 4 e 3 t

Por fim vamos agrupar todas as soluções!

y = y h + y n h

Resgatando nosso resultado do passo anterior:

y = c 1 + c 2 e - 3 t + c 3 t e - 3 t + 1 4 e 3 t

E é isso! Espero ter ajudado!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = c 1 + c 2 e - 3 t + c 3 t e - 3 t + 1 4 e 3 t

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