Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Considere a EDO não-homogênea y ' ' - y ' - 2 y = g x ,       x ∈ R , onde g x =   1 ,     s e   x < 0 x + 1 ,       s e   x ≥ 0  

  1. Encontre a solução geral da EDO homogênea associada;
  2. Encontre uma solução particular da EDO não-homogênea; e
  3. Dê a solução geral da EDO.

Passo 1

Fala pessoal! Dando continuidade, observe que em cada intervalo a inomogeneidade g é polinomial. Assim pelo método dos coeficientes a determinar vamos propor soluções polinomiais para achar uma solução particular contínua e 2 vezes derivável.

Para x < 0 , temos g = 1 , então suponha y = A , substituindo na EDO:

  y ' ' - y ' - 2 y = 1 ⇒ - 2 A = 1 ⇒ y p = - 1 / 2

Para x ≥ 0 , temos g = x + 1 , então suponha y = B x + C :

y ' ' - y ' - 2 y = x + 1 ⇒ - B - 2 B x + C = - 2 B x + - B - 2 C = x + 1

Pela identidade polinomial:

- 2 B = 1 - B - 2 C = 1 ⇒ B = - 1 2         e         C = - 1 4

⇒ y p = - x 2 - 1 4

Passo 2

Assim, uma solução particular da EDO não-homogênea é:

y p = - 1 2 ,       s e   x < 0 - x 2 - 1 4 ,         s e   x ≥ 0

Só que essa solução ainda não garante a continuidade em 0 , então pegamos a solução da homogênea e fazemos:

y p = M e - x + N e 2 x - 1 2 ,       s e   x < 0 P e - x + Q e 2 x - x 2 - 1 4 ,         s e   x ≥ 0

Passo 3

Donde, temos:

y p - 0 = y p ( + 0 ) y p ' - 0 = y p ' ( + 0 ) y p ' ' - 0 = y p ' ' ( + 0 ) ⇒ M + N - 1 2 = P + Q - 1 / 4 - M + 2 N = - P + 2 Q - 1 / 2 M + 4 N = P + 4 Q

Buscamos apenas uma solução que satisfaça as condições acima, logo, tomando Q = 0 , temos:

M + N - P = 1 / 4 M - 2 N - P = 1 / 2 M + 4 N - P = 0 ⇒ M + N - P = 1 / 4 M - 2 N - P = 1 / 2 3 N = - 1 / 4 ⇒ M - P = 1 / 3 N = - 1 / 12 ⇒ M = 0   e     N = - 1 / 12 P = - 1 3   e   Q = 0

Assim, a solução particular da EDO não-homogênea é:

y p = - 1 12 e 2 x - 1 2 ,       s e   x < 0 - 1 3 e - x - x 2 - 1 4 ,         s e   x ≥ 0

Resposta

y p = - 1 12 e 2 x - 1 2 ,       s e   x < 0 - 1 3 e - x - x 2 - 1 4 ,         s e   x ≥ 0

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