Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

4 . Pela segunda lei de Newton, um objeto de massa 1 k g em queda livre, com atrito de viscosidade com o ar v 0 = 5   k g / s , obedece a equação diferencial:

*   y ' ' t = - 10 - 5 y ' t

onde y t é a posição vertical em metros e usamos a aproximação da constante gravitacional da Terra g = 10 m / s ² .

Dado que y 0 = 1 , y ' 0 = 2 ,temos que y ( 1 ) é:

[Na resposta e^{-k} significa e - k   ]

Escolha uma:

a .   [ - 1   +   4   e ^ { - 5 } ] /   5  

b .   [ - 3   +   3   e ^ { - 10 } ] /   5

c .   [ - 5   +   - 2   e ^ { - 5 } ] /   5

d .   [ - 1   +   2   e ^ { - 10 } ] /   5

e .   [ - 3   +   4   e ^ { - 5 } ] /   5

Passo 1

Muitas vezes cometemos o erro de olhar para um exercício e pensar “huum aplicação, vai ser complicado”, mas é só coisa da nossa cabeça pois só precisamos organizar o que o enunciado nos dar com o que estamos bem adaptados em resolver.

O enunciado nos dar:

y ' ' t = - 10 - 5 y ' t

Se jogarmos - 5 y ' t para o outro lado teremos:

y ' ' t + 5 y ' t = - 10

E facilmente pode usar o método do coeficiente a determinar e resolver o nosso exercício. Tá em dúvida? Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar descobrindo a solução homogênea:

y ' ' t + 5 y ' t = 0

Através da equação característica teremos:

r = - 5 ou r = 0

Então nossa solução homogênea será:

y h = c 1 e - 5 x + c 2

Passo 3

Vamos descobrir agora a solução particular:

y ' ' t + 5 y ' t = - 10

Ou seja:

y p = A x

Então:

y p ' = A

E:

y p ' ' = 0

Sendo assim:

5 A = - 10   ⇒   A = - 2   ∴   y p = - 2 x

Juntando tudo teremos:

y x = c 1 e - 5 x + c 2 - 2 x

Passo 4

Agora vamos usar as informações fornecidas pelo enunciado para encontrar c 1 e c 2 .

y 0 = c 1 e 0 + c 2 - 2 ⋅ 0 = c 1 + c 2 = 1

Agora y ' ( x ) :

y ' 0 = - 5 c 1 e - 5 ⋅ 0 - 2 = - 5 c 1 - 2 = 2

Montando um sisteminha:

c 1 + c 2 = 1 ⇒ c 2 = 1 - c 1   ∴ c 2 = 1 + 4 5 = 9 5 - 5 c 1 - 2 = 2 ⇒ c 1 = - 4 5

Substituindo esses valores em y :

y x = - 4 5 e - 5 x + 9 5 - 2 x   ⇒     y 1 = - 4 5 e - 5 + 9 5 - 2 = - 4 5 e - 5 - 1 5

Bom, nós não temos essa resposta na solução e isso é por conta de um erro de digitação na prova (sinal + ao invés do correto - ), ou seja, a resposta seria o item a se fosse digitada corretamente.

Resposta

a .   [ - 1 -   4   e ^ { - 5 } ] /   5  

Digitação da prova errada, conferir a explicação acima

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