Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

Ver Teoria

Enunciado

Resolva as equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes:

b) y ' ' - 8 y ' + 20 y = 100 x 2 - 26 x e x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO linear não homogênea:

y ' ' - 8 y ' + 20 y = 100 x 2 - 26 x e x

E pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Lembra como é a forma da solução geral de uma EDO não homogênea?

Ela vai ser a soma da solução homogênea, y h , com a solução particular, y p , ou seja:

y x = y h + y p

A solução homogênea vai ser encontrada através da seguinte equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

Calculando as raízes dessa equação nós descobrimos a forma da solução homogênea. Mas e a solução particular?

Nós vamos encontrar a solução particular chutando uma função f ( x ) que tenha o mesmo formato da função do lado direito da EDO. Como no nosso caso temos a subtração de uma função polinomial com o produto de uma polinomial e uma exponencial ( 100 x 2 - 26 x e x ), nossa solução particular vai ter a mesma carinha. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos fingir que nossa EDO seja homogênea:

y ' ' - 8 y ' + 20 y = 0

E escrevemos sua equação auxiliar:

r 2 - 8 r + 20 = 0

Calculando as raízes dessa equação, temos:

r = 8 ± 8 2 - 4 ∙ 1 ∙ 20 2 ∙ 1 = 8 ± 64 - 80 2

Repare que dentro da raiz nós teremos um número negativo, então nossa solução vai ser um número complexo do tipo:

r = 8 ± 4 i 2 = 4 ± 2 i

Lembra como é nossa solução quando temos duas raízes complexa da forma r = α ± β i ? Ela vai ter essa cara aqui:

y h = e α x c 1 cos ⁡ ( β x ) + c 2 sin ⁡ ( β x )

Como aqui α = 4 e β = 2 , temos:

y h = e 4 x c 1 cos ⁡ ( 2 x ) + c 2 sin ⁡ ( 2 x )

Essa é a nossa solução homogênea.

Passo 3

Agora para encontrar a solução particular, vamos olhar para a função que tá lá do lado direito da EDO:

f x = 100 x 2 - 26 x e x

A nossa solução particular precisa ter esse formato, então vamos chutar:

y p = A x 2 + B x + C + ( D x + E ) e x

Agora vamos derivar isso tudo e substituir na nossa EDO. Derivando uma vez:

y p ' = 2 A x + B + D e x + e x ( D x + E )

Derivando mais uma vez:

y p ' ' = 2 A + 2 D e x + e x ( D x + E )

Passo 4

Agora vamos substituir todo mundo na nossa EDO:

y ' ' - 8 y ' + 20 y = 100 x 2 - 26 x e x

2 A + 2 D e x + e x D x + E - 8 2 A x + B + D e x + e x D x + E + 20 A x 2 + B x + C + D x + E e x = 100 x 2 - 26 x e x

Vamos agrupar os termos pra ficar mais fácil:

e x D x + E + 2 D - 8 D - 8 D x - 8 E + 20 D x + 20 E + 2 A - 16 A x - 8 B + 20 A x 2 + 20 B x + 20 C = 100 x 2 - 26 x e x

Resolvendo dentro dos parênteses ficamos com:

e x 13 D x - 6 D + 13 E + 20 A x 2 + 20 B x - 16 A x + 20 C - 8 B + 2 A = 100 x 2 - 26 x e x

Comparando os coeficientes da parte exponencial, temos:

e x 13 D x - 6 D + 13 E = - 26 x e x

Logo,

13 D = - 26

D = - 2

E

13 E - 6 D = 0

Substituindo o valor de D :

13 E - 6 - 2 = 0

13 E = - 12

E = - 12 13

Agora comparando a parte polinomial da equação, temos:

20 A x 2 + 20 B x - 16 A x + 20 C - 8 B + 2 A = 100 x 2

Logo, para os termos com x 2 :

20 A x 2 = 100 x 2

A = 5

Para os termos com x :

20 B - 16 A = 0

Substituindo o valor de A :

20 B - 16 5 = 0

20 B = 80

B = 4

E, por fim:

20 C - 8 B + 2 A = 0

20 C - 8 4 + 2 5 = 0

20 C = 22

C = 11 10

Substituindo todo mundo na nossa solução particular y p = A x 2 + B x + C + ( D x + E ) e x , temos:

y p = 5 x 2 + 4 x + 11 10 - 2 x e x - 12 13 e x

E finalmente podemos escrever nossa solução geral:

y x = y h + y p

y x = e 4 x c 1 cos ⁡ ( 2 x ) + c 2 sin ⁡ ( 2 x ) + 5 x 2 + 4 x + 11 10 - 2 x e x - 12 13 e x

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y x = e 4 x c 1 cos ⁡ ( 2 x ) + c 2 sin ⁡ ( 2 x ) + 5 x 2 + 4 x + 11 10 - 2 x e x - 12 13 e x

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' + 9 y = e 3 x
Considere uma massa presa a uma mola sujeita a uma força de atrito ou de amortecimento. No caso de amortecimento crítico, o movimento é dado por x = c 1 e r t + c 2 t e r t . Mostre que o gráfico de x