Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFPE, Cálculo 4, 2º EE - 2017.2, Questão 3

Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2 ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + p y ' + q y = e α t cos β t

Onde α = - p 2 , β = q - p 2 4 . Tome y t = e - p t 2 u ( t ) . Considere p = q = 2 .

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a EDO em função de u . Como p = q = 2 :

α = - 1

β = 1

y ' ' + 2 y ' + 2 y = e - t cos t

y = e - p t 2 u = e - t u

y ' = - e - t u + e - t u '

y ' ' = e - t u - 2 e - t u ' + e - t u ' '

Substituindo na EDO:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = e - t cos t

e - t u - 2 e - t u ' + e - t u ' ' + 2 - e - t u + e - t u ' + 2 e - t u = e - t cos t

Arrumando os termos:

e - t u ' ' + u = e - t cos t

Como e - t 0 :

u ' ' + u = cos t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos ter que resolver essa EDO. Perceba que ela é não homogênea. Então vamos começar resolvendo a EDO homogênea associada:

u ' ' + u = 0

O polinômio característico:

r 2 + 1 = 0

r = ± - 1 = ± i

E a solução será:

y h = e α t c 1 cos β t + c 2 sen β t

Adotando a raiz escrita da forma r = α ± i β .

y h = c 1 cos t + c 2 sen t

Passo 3

Agora vamos partir para a não homogênea:

u ' ' + u = cos t

Ora, se a nossa EDO está igualada a um cosseno, nada mais justo que a nossa solução particular seja uma combinação de seno e cosseno:

u p = A cos t + B sen t

Passo 4

Primeiramente, temos que verificar se essa solução está presente na solução da homogênea:

u h = c 1 cos t + c 2 sen t

Perceba que a nossa particular já está presente na homogênea. Sendo assim, vamos multiplicá-la por t :

u p = t ( A cos t + B sen t )

u p ' = A cos t + B sen t + t ( - A sen t + B cos t )

u p ' ' = - 2 A sen t + 2 B cos t + t ( - A cos t - B sen t )

Substituindo na EDO:

u ' ' + u = cos t

- 2 A sen t + 2 B cos t + t - A cos t - B sen t + t ( A cos t + B sen t ) = cos t

Juntando termos semelhantes:

sen t - 2 A + cos t 2 B = cos t

Agora igualamos os coeficientes em ambos os lados:

- 2 A = 0 A = 0

2 B = 1 B = 1 2

u p = t 2 sen t

Passo 5

E finalmente, a solução geral será:

y t = y h + y p

y t = c 1 cos t + c 2 sen t + t 2 sen t

Resposta

y t = c 1 cos t + c 2 sen t + t 2 sen t

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