Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

Ver Teoria

Enunciado

Sabendo que x h t = C 1 e t + C 2 e 3 t , t   ϵ   R é solução geral de uma equação homogênea da forma x ' ' + b x ' + c x = 0 , com b, c constantes, determine b e c e encontre a solução geral da equação não-homogênea x ' ' + b x ' + c x = 8 e 3 t

Passo 1

Para começar, se possuímos uma solução do tipo:

x h t = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

Sabemos que ∆ > 0 . Sabemos ainda que r 1 = 1   e   r 2 = 3

Logo, estamos trabalhando com:

x - 1 x - 3 = x 2 - 3 x - x + 3 = x 2 - 4 x + 3

Sabemos por isso então que b=-4 e c=3.

Passo 2

Para descobrirmos a solução particular de x ' ' + b x ' + c x = 8 e 3 t , precisamos lembrar que a solução particular será na forma A e a t . Nessas condições, “ a ” vale 3. O que nos leva uma problema, pois 3 já uma das raízes. Por essa razão, a solução geral não será na fora A e a t , mas sim na forma A t e a t .

Passo 3

Encontrando então a primeira e segunda derivada temos:

x p = A t e 3 t

x p ' = A + 3 A t e 3 t

x p ' ' = 6 A + 9 A t e 3 t

Substituindo esses valores na nossa equação não homogênea temos:

x ' ' + b x ' + c x = 8 e 3 t

6 A + 9 A t e 3 t + b A + 3 A t e 3 t + c A t e 3 t = 8 e 3 t

Lembrando ainda que b = - 4   e   c = 3 temos:

6 A + 9 A t e 3 t + ( - 4 ) A + 3 A t e 3 t + 3 A t e 3 t = 8 e 3 t

6 A - 4 A + 9 A t - 12 A t + 3 A t e 3 t = 8 e 3 t

2 A = 8

A = 4

Logo nossa solução geral será:

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t + 4 t e 3 t

Passo 4

Resposta

b = - 4

c = 3

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t + 4 t e 3 t

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' + 9 y = e 3 x
Considere uma massa presa a uma mola sujeita a uma força de atrito ou de amortecimento. No caso de amortecimento crítico, o movimento é dado por x = c 1 e r t + c 2 t e r t . Mostre que o gráfico de x