Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Resolva os seguintes P V I ´ s

c ) y ' ' + 6 y ' = 18 e 6 t ,   y 0 = y ' 0 = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária não homogênea com coeficientes constantes

y ' ' + 6 y ' = 18 e 6 t

A solução desse tipo de equação é a soma da solução da equação diferencial homogênea associada (parte em que fazemos = 0 do lado direito) com a solução da não homogênea

y = y h + y n h

Para resolver a parte homogênea vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 2 + 6 y = 0

A ideia aqui é resolver essa equação, encontrando suas raízes: m 1 , m 2 (polinômio de segunda ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t

Beleza? Para a parte não homogênea, vamos supor solução do mesmo tipo! No nosso caso y n h = A e 6 t . Com essa solução vamos substituir na equação e achar quem é esse A !

Como é um problema definido, vamos achar nossa solução e no final substituir as condições para achar as constantes!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver a homogênea associada

m 2 + 6 m = 0

m m + 6 = 0

m = 0   e - 6

No nosso caso temos duas raízes diferentes e reais!

Tudo bem até aqui? A solução da parte homogênea fica assim

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t

y h = c 1 + c 2 e - 6 t

Bora pra parte não homogênea?

Passo 3

Beleza? Nosso passo final é achar a solução da equação associada não homogênea!

y ' ' + 6 y ' = 18 e 6 t

Vamos supor solução do tipo

y n h = A e 6 t

Derivando e substituindo na equação temos

y ' = 6 A e 6 t ,   y ' ' = 36 A e 6 t

Substituindo temos

36 A e 6 t + 6 6 A e 6 t = 18 e 6 t

Dividindo tudo por e 6 t

72 A = 18 → A = 1 4

Beleza?

Aí nossa solução da parte não homogênea é

y n h = 1 4 e 6 t

Por fim vamos agrupar todas as soluções!

y = y h + y n h

Resgatando nosso resultado do passo anterior:

y = c 1 + c 2 e - 6 t + 1 4 e 6 t

Tranquilo até aqui? Estamos quase no fim!

Passo 4

Agora vamos aplicar as condições iniciais! Nossa solução

y = c 1 + c 2 e - 6 t + 1 4 e 6 t

Agora as condições de contorno

y 0 = y ' 0 = 0

Fazendo y ( 0 ) temos

y 0 = c 1 + c 2 + 1 4 = 0 → c 1 = - 1 4 - c 2

Agora y '

y ' = - 6 c 2 e - 6 t + 6 4 e 6 t

E substituindo y ' 0 = 0 temos

0 = - 6 c 2 + 6 4 → c 2 = 1 4

E aí c 1 = - 1 4 - c 2 = - 1 4 - 1 4 = - 1 2

Belezinha?

agora que temos as constantes, voltamos para nossa solução geral

y = c 1 + c 2 e - 6 t + 1 4 e 6 t

Com c 1 = 1 4 , c 2 = - 1 2

y = - 1 2 + 1 4 e - 6 t + 1 4 e 6 t

E é isso! Essa é nossa solução! Espero ter ajudado!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = - 1 2 + 1 4 e - 6 t + 1 4 e 6 t

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