Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine a solução geral das EDO’s:

b) y ' ' ' - 3 y ' - 2 y = e x ( 1 + x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO não homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela usando o método dos coeficientes indeterminados. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Pra construir nossa solução geral, nós vamos precisar de uma solução pra EDO homogênea, fazendo y ' ' ' - 3 y ' - 2 y = 0 , e uma solução particular que vai ter o mesmo formato da função que tá no lado direito da equação, que no caso é e x ( 1 + x ) .

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução da parte homogênea é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

A parte dos coeficientes indeterminados tá relacionada com a solução particular que nós falamos. Assim, nós vamos chutar uma solução particular que tenha o mesmo formato da função do lado direito, derivar essa solução três vezes e substituir na equação. Com isso, nós vamos determinar coeficientes pra nossa solução particular, que vai ser somada a solução homogênea pra nos dá a solução geral:

y x = y h ( x ) + y p ( x )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a EDO homogênea:

y ' ' ' - 3 y ' - 2 y = 0

Temos a equação característica:

r 3 - 3 r - 2 = 0

Fatorando a equação, vamos ter:

r + 1 2 r - 2 = 0

Pra que esse produto seja igual a zero, r + 1 2 = 0 ou r - 2 = 0 . Daí, podemos descobrir as raízes da equação:

r - 2 = 0 → r = 2

r + 1 2 = 0 → r + 1 = 0 →   r = - 1

Então, nossas raízes são r 1 = 2 , r 2 = r 3 = - 1 .

Passo 3

Repare que nós temos três raízes reais e duas delas são iguais, o que nos dá uma solução do tipo:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x

Substituindo as nossas raízes:

y h x = c 1 e 2 x + c 2 e - x + c 3 x e - x

Agora vamos achar nossa solução particular.

Passo 4

Como a nossa função é e x ( 1 + x ) , o produto de uma função exponencial e uma função polinomial, nós vamos chutar uma solução do tipo:

y p = A x + B e x

Derivando essa equação, temos:

y p ' = A e x + A x + B e x

Vamos derivar mais duas vezes:

y p ' ' = 2 A e x + A x + B e x

y p ' ' ' = 3 A e x + A x e x + B e x

Substituindo y p ' ' ' , y p ' e y p na equação y ' ' ' - 3 y ' - 2 y = e x ( 1 + x ) , temos:

3 A e x + A x e x + B e x - 3 A e x + A x + B e x - 2 A x + B e x = e x ( 1 + x )

Simplificando, nós chegamos em:

- 4 A x e x - 4 B e x = e x ( 1 + x )

Agora vamos igualar os termos de mesma ordem pra descobrir nossos coeficientes:

- 4 A = 1 → A = - 1 4

- 4 B = 1 → B = - 1 4

Substituindo todos os coeficientes em y p , temos nossa solução particular:

y p = - x 4 e x - 1 4 e x

Juntando a solução homogênea com a solução particular, temos nossa solução geral:

y x = c 1 e 2 x + c 2 e - x + c 3 x e - x - x 4 e x - 1 4 e x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e 2 x + c 2 e - x + c 3 x e - x - x 4 e x - 1 4 e x

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