Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

Se A R , a equação diferencial y ' ' - 6 y ' + 9 y = 3 e 3 x tem uma solução da forma

(a) e 3 x + A x e 3 x

(b) A e 3 x

(c) A x e 3 x

(d) nenhuma das outras alternativas

(e) x e x + A x ² e 3 x

Passo 1

Temos uma EDO não homogênea com a função 3 e 3 x no lado direito. Ele quer uma solução dessa EDO, então precisamos achar a solução particular.

Mas a gente não pode sair dizendo “ah então a solução é da forma A e 2 x !”. Primeiro a gente tem que calcular a solução da equação homogênea e depois a solução particular, show?

A EDO homogênea é

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0

Assim, a equação auxiliar vai ser

r 2 - 6 r + 9 = 0

r = - - 6 ± - 6 2 - 4 1 9 2.1 = 6 ± 36 - 36 2 = 6 ± 0 2

Assim, vamos ter duas raízes iguais

r = 3

Excelente! Asolução homogênea y h é da forma

    y h x = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora voltando à EDO não homogênea:

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 3 e 3 x

No lado direito temos algo do tipo A e 3 x então, como eu disse no começo, o nosso reflexo é tentar uma solução particular y p do tipo

y p x = A e 3 x

Mas, atenção, primeiro temos que testar se essa opção é solução da equação homogênea!

E na solução da homogênea temos um termo c 1 e 3 x então esse “chute” não serve!

Então vamos multiplicá-lo por x , o que dá:

y p x = A x e 3 x

Mas novamente não vai dar certo porque na y h tem um c 2 x e 3 x .

Então temos que multiplicar de novo por x :

y p x = A x 2 e 3 x

Agora tá tudo certo! Essa é a solução particular da equação!

Juntando com a solução homogênea, obtemos a solução geral:

y x = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x + A x 2 e 3 x

Passo 3

A nossa solução precisa ter essa cara

y x = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x + A x 2 e 3 x

O que pode mudar aqui é esse c 1 e o c 2 , mas em todas precisa te algo com A x 2 e 3 x

A única alternativa que tem isso é a letra e, mas ele é somado com uma função que não tem nada de semelhante com a solução que achamos

Então nenhuma das alternativas está certa! Ou melhor, a alternativa “nenhuma das outras alternativas” está certa haha.

Resposta

Alternativa (d)

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