Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão Q26

Calcule a solução geral da EDO y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   5 e t .

Passo 1

Fala aí!! A questão quer que a gente encontre a solução geral da EDO

y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   5 e t

Ou seja, temos que calcular a solução da equação homogênea e depois calculamos a solução particular. A solução geral é a soma das duas:

y t = y h t + y p ( t )

Vamos começar calculando a solução da equação homogênea:

y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   0

A equação característica é:

r 2 - 5 r + 6 = 0

= 5 2 - 4.6 = 25 - 24 = 1

r = 5 ± 2 = 5 ± 1 2

Então, as raízes dessa equação serão:

r 1 = 5 + 1 2 = 3

r 2 = 5 - 1 2 = 2

A solução para esse caso de > 0 é da forma:

y = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t  

Então, a solução da equação homogênea é:

y h ( t ) = c 1 e 3 t + c 2 e 2 t  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já temos a solução da equação homogênea, vamos calcular a solução aprticular. Como o resultado da equação é da forma e t , então a nossa solução particular será da forma:

y p = A e t

Vamso substituir na equação para descobrirmos o valor da constante A . Para isso, precisamos conhecer as derivadas primeira e segunda dessa solução.

y p ' = A e t

y p ' ' = A e t

Subsituindo na equação, teremos:

y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   5 e t

A e t - 5 A e t + 6 A e t = 5 e t

2 A e t = 5 e t 2 A = 5 A = 5 / 2

Pronto, agora sabemos como é a nossa solução particular:

y p = 5 2 e t

Agora, podemos calcular a nossa solução geral:

y t = y h t + y p ( t )

y t = c 1 e 3 t + c 2 e 2 t + 5 2 e t

É isso aí galera! Questão resolvida!

Resposta

y t = c 1 e 3 t + c 2 e 2 t + 5 2 e t

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