Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2018.1, Questão 3b

  1. Considere a EDO

a y ' ' + b y ' + c y = e k x

onde a , b , c , k R .

Suponha que a equação característica da EDO acima possui duas raízes distintas sendo k uma delas, mostre que podemos encontrar uma solução particular na forma y p = A x e k x , onde

A = 1 2 a k + b .

Explique como sabemos que k - b / 2 a .

Passo 1

Legal, vamos lá. Temos a EDO:

a y ' ' + b y ' + c y = e k x

A solução dessa EDO vai ser dada pela combinação da solução homogênea com a solução particular: y x = y h x + y p x

Vamos verificar se   y p = A x e k x é uma solução particular dessa equação. Para isso, substituímos:

a y ' ' + b y ' + c y = e k x

a A x e k x ' ' + b A x e k x ' + c A x e k x = e k x

Precisamos derivar, pela regra do produto, vamos ter: A x e k x ' = A e k x + A k x e k x = A e k x 1 + k x

Novamente pela regra do produto:

A x e k x ' ' = A e k x 1 + k x ' = A k e k x 1 + k x + A e k x k

= A e k x 2 k + k 2 x

E agora podemos substituir isso na equação: a A e k x 2 k + k 2 x + b A e k x 1 + k x + c A x e k x = e k x

Como a exponencial vai ser sempre diferente de zero, podemos cortar: a A 2 k + k 2 x + b A 1 + k x + c A x = 1

Deixando o A em evidência, vamos ter:

A 2 k a + a k 2 x + b + b k x + c x = 1

A a k 2 + b k + c x + 2 k a + b = 0 x + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O único jeito dessa igualdade ser verdadeira é se os coeficientes dos dois lados fores iguais, então precisamos que:

A a k 2 + b k + c = 0

A 2 k a + b = 1

Vamos olhar para a primeira equação. Lembra que o problema disse que k é uma raiz da equação característica? Bem, a equação característica é justamente:

a y ' ' + b y ' + c y = 0

a r 2 + b r + c = 0

Como k é uma raiz, então:

a k 2 + b k + c = 0

E a primeira equação é satisfeita. Agora, para a segunda ser satisfeita:

A = 1 2 k a + b

Assim, vamos ter que

y p = A x e k x

É solução particular com

A = 1 2 k a + b .

Passo 3

Falta mostrar agora que

k - b 2 a .

A chave aqui está no problema ter dito que a equação característica tem duas raízes distintas. Vimos que a equação característica é:

a r 2 + b r + c = 0

Então pelo tio Bhaskara:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para termos raízes distintas, Δ = b 2 - 4 a c 0 . Assim:

k - b 2 a

Que é o que sobraria se b 2 - 4 a c = 0 . 😊

Resposta

Demonstração na resolução.

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