Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2017.2, Questão 3b

Determine uma equação diferencial de modo que a função

y t = C 1 e 3 t sen 2 t + C 2 e 3 t cos 2 t + t e - t ,     t R

seja a solução geral da EDO.

Passo 1

O problema deu uma situação inversa aqui. Ele deu a função e pediu para encontrarmos uma equação em que ela é solução.

De forma geral, temos que a solução de uma EDO é dada por: y t = y h + y p

Ou seja, a soma da solução homogênea com a solução particular. Para uma EDO de segunda ordem, sempre que tivermos raízes imaginárias, a solução homogênea vai ser da forma: y h t = C 1 e α cos β t + C 2 e α sen β t

Em que:

r = α ± i β

Dado pela equação característica. Comparando essa forma geral com o que temos, vemos que:

y h t = C 1 e 3 t sen 2 t + C 2 e 3 t cos 2 t

Com:

α = 3 β = 2

E então, sobrará: y p t = t e - t

Portanto, podemos reescrever a equação característica da parte homogênea a partir disso da mesma forma qe se faz para encontrar a equação de segundo grau a partir das raízes:

r - r 1 r - r 2

r - α + i β r - α - i β

r - 3 - 2 i r - 3 + 2 i

r 2 - 3 r + 2 i r - 3 r + 9 - 6 i - 2 i r + 6 i + 4

r 2 - 6 r + 13 = 0

Para equação característica, temos a relação: r 2 y ' '

r y '

1 y

Assim: r 2 - 6 r + 13 = 0

y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0  

E essa é a parte homogênea da EDO associada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontramos a parte homogênea. Precisamos agora determinar a parte particular e teremos a equação final: y ' ' - 6 y ' + 13 y = f t

Como temos:

y p t = t e - t

Vamos ter f t na forma: f t = A t e - t + B e - t + C

Então, calculamos as derivadas para substituir e achar as constantes:

y p ' t = t e - t ' = e - t - t e - t = e - t 1 - t

y p ' ' t = e - t 1 - t ' = - e - t 1 - t - e - t = - e - t 2 - t

Logo:

y ' ' - 6 y ' + 13 y = A t e - t + B e - t + C

- e - t 2 - t - 6 e - t 1 - t + 13 t e - t = A t e - t + B e - t + C

- 2 e - t + t e - t - 6 e - t + 6 t e - t + 13 t e - t = A t e - t + B e - t + C

Agora comparamos os dois lados colocando t e - t e e - t em evidência:

t e - t 1 + 6 + 13 + e - t - 2 - 6 = A t e - t + B e - t + C

20 t e - t - 8 e - t = A t e - t + B e - t + C

Comparando, temos: A = 20

B = - 8

C = 0

Portanto, nossa EDO será: y ' ' - 6 y ' + 13 y = f t

y ' ' - 6 y ' + 13 y = 20 t e - t - 8 e - t

E é isso. 😊

Resposta

y ' ' - 6 y ' + 13 y = 20 t e - t - 8 e - t

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