Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2017.2, Questão 1

Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' + 2 y ' + y = 2 e - x

Passo 1

Nós temos que resolver uma EDO não homogênea. Então, primeiro vamos resolver o caso homogêneo associado:

y ' ' + 2 y ' + y = 0

O polinômio característico será:

r 2 + 2 r + 1 = 0

r + 1 2 = 0

r = - 1

Como temos apenas uma raiz, temos que a solução será do tipo:

y h = c 1 e - x + c 2 x e - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Maneiro!!! Agora vamos partir para a resolução da EDO não homogênea:

y ' ' + 2 y ' + y = 2 e - x

Como temos uma função exponencial, seria um bom chute uma solução particular do tipo:

y p = a e - x

MASSSS, precisamos ver se ela já está na solução homogênea:

y h = c 1 e - x + c 2 x e - x

Ops, ela está. Vamos multiplicar por x até que fique diferente.

y p = a x e - x

Essa solução também está na homogênea, então vamos multiplicar mais uma vez.

y p = a x 2 e - x

Agora sim podemos prosseguir com os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dessa solução particular:

y p = a x 2 e - x

y p ' = - a x 2 e - x + 2 a x e - x

y p ' ' = a x 2 e - x - 4 a x e - x + 2 a e - x

Substituindo na EDO:

a x 2 e - x - 4 a x e - x + 2 a e - x + 2 - a x 2 e - x + 2 a x e - x + a x 2 e - x = 2 e - x

Ao juntar os termos semelhantes:

2 a e - x = 2 e - x

Logo, a = 1 .

Então a solução particular é

y p = x 2 e - x

Passo 4

E, portanto, a solução geral se dá por:

y x = y h + y p

y x = c 1 e - x + c 2 x e - x + x 2 e - x

Resposta

y x = c 1 e - x + c 2 x e - x + x 2 e - x

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