Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + y ' + y = e t

Passo 1

Na questão anterior, já encontramos a solução homogênea ela é:

y h t = e - t 2 ( c 1 cos ⁡ 3 2 t + c 2 sen ⁡ 3 2 t )

Agora nós devemos encontrar a solução particular pois a solução geral é da forma:

y = y h + y p

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para a solução particular y p t , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com d = 1 . Pela nossa tabelinha devemos fazer

y p t = A e t

Passo 3

Vamos achar as derivadas. Isso é fácil, né?

y p t = A e t

y p ' t = A e t

y p ' ' t = A e t

Agora é só substituir para encontrarmos o coeficiente.

Passo 4

Substituindo:

y ' ' + y ' + y = e t

3 A e t = e t

Devemos ter

A = 1 3

Assim, a solução geral é:

y = e - t 2 c 1 cos ⁡ 3 2 t + c 2 sen ⁡ 3 2 t + 1 3 e t

Resposta

y = e - t 2 c 1 cos ⁡ 3 2 t + c 2 sen ⁡ 3 2 t + 1 3 e t

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