Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = e - x

Passo 1

Dá pra ver que essa coisa aí é um EDO de 2ª ordem não-homogênea, pois a maior derivada envolvida é a de segunda ordem e ela está igualada a uma coisa que não é zero. Então queremos:

y x = y h x + y p ( x )

Onde y h é a solução da EDO homogênea associada, e y p a solução da particular.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos encontrar a solução da homogênea:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

Resolver essa EDO é resolver o seguinte polinômio característico:

r 2 + 2 r + 2 = 0

r = - 1 ± i

Logo,

y h x = e - x A c o s x + B s e n x

Passo 3

Feito isso, resta encontrar y p . Para isso, teremos que rever nossa equação original e determinar qual será nosso chute pra particular.

y ' ' + 2 y ' + 2 y = e - x

Já que temos um e - x , devemos chutar algo desse tipo: C e - x .

MAAAAAAAS, temos que ver se essa coisa já está em y h .

y h x = e - x A c o s x + B s e n x

y p x = C e - x

Bom, não está porque na primeira equação, essa exponencial está multiplicando um cosseno e um seno, enquanto que na segunda equação, ela tá sozinha.

Vamos em frente, que atrás vem gente.

Passo 4

Se estamos supondo que y p x = C e - x é solução, ele deve respeitar a relação da EDO. Calculando suas derivadas:

y p x = C e - x

y p ' ( x ) = - C e - x

y p ' ' ( x ) = C e - x

Substituindo na EDO:

C e - x + 2 - C e - x + 2 C e - x = e - x

Arrumando essas coisas e juntando os termos semelhantes, ficamos com:

e - x C - 2 C + 2 C = e - x

C e - x = e - x

Logo C = 1 .

Passo 5

AEEEEE já temos tudo o que precisamos pra solução geral. Olha só como ela fica:

y x = y h x + y p x

y x = e - x A c o s x + B s e n x + e - x

Resposta

y x = e - x A c o s x + B s e n x + e - x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas