Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Com as seguintes condições iniciais

y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

Passo 1

a) Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:

r 2 - 4 r + 3 = 0

r = - - 4 ± - 4 2 - 4.1 . 3 2

r = 4 ± 16 - 12 2

r = 4 ± 4 2

r = 4 ± 2 2

r = 1 ,     o u ,     r = 3

Beleza, encontramos esses valores para r ! Assim, como o Δ foi maior do que 0 , a solução homogênea é:

y h x = C 1 e 1 . x + C 2 e 3 . x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Partamos agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com d = 1 . Pela nossa tabelinha devemos fazer

y p x = A e x

Passo 3

Agora temos que comparar y h ( x ) e y p ( x ) . Veja que y p ( x ) está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: C 2 e x . Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por x até que ela fique diferente

y p x = A x e x

Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.

Vamos achar as derivadas

y p ' x = A e x + A x e x

y p ' ' x = A e x + A e x + A x e x = 2 A e x + A x e x

Passo 4

Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x + A x e x + 3 A x e x = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x - 4 A x e x + 3 A x e x = 3 e x

- 2 A e x = 3 e x

Devemos ter

A = - 3 2

Assim, a solução geral é:

y x = C 1 e x + C 2 e 3 x - 3 2 x e x

Passo 5

b) Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos! Colocando 0 em y x , temos:

y 0 = C 1 e 0 + C 2 e 3.0 - 3 2 0 e 0 = 1

C 1 + C 2 = 1

Passo 6

Agora, vejamos o y ' 0 . Para isso, precisamos derivar y x , o que nos dá:

y ' x = C 1 e x + 3 C 2 e 3 x - 3 2 e x - 3 2 x e x

Colocando x = 0 , teremos:

y ' 0 = C 1 e 0 + 3 C 2 e 3.0 - 3 2 e 0 - 3 2 . 0 e 0

C 1 + 3 C 2 - 3 2 = 0

Passo 7

Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:

C 1 + C 2 = 1 C 1 + 3 C 2 = 3 2

Subtraindo a de baixo da de cima, teremos:

2 C 2 = 1 2

C 2 = 1 4

Substituindo esse valor para C 2 na primeira equação, temos:

C 1 + 1 4 = 1

C 1 = 3 4

Colocando esses dois valores na equação de y x , teremos:

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

Resposta

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

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