Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão Q25

Encontre a solução geral da equação diferencial y ' '   - 3 y '   - 4 y   = 4 e 3 x

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer a solução da equação diferencial de segunda ordem. A gente começa fazendo a equação característica:

r 2 - 3 r - 4 = 0

Agora, vamos calcular as raízes dessa equação:

r = 3 ± 9 - - 4.4 . 1 2 = 3 ± 9 + 16 2 = 3 ± 5 2

r 1 = 4       e       r 2 = - 1

Nesse caso, nos temos o > 0 , logo temos duas raízes reais e diferentes. Quando isso ocorre, a solução geral é da forma:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Substituindo os valores de r 1 e r 2 , chegaremos à solução da nossa equação homogênea.

y h x = c 1 e 4 x + c 2 e - x

Bom, agora, temos que achar a solução particular. Como temos uma função exponencial no resultado, podemos usar a seguinte função como solução particular:

y p = A e 3 x

Para substitui na nossa equação, precisamos saber como fica as derivadas dessa função. Então, derivando a função, temos:

y ' p = 3 A e 3 x

y p ' ' = 9 A e 3 x

Agora é só substituir na nossa equação diferencial e descobrir quanto vale a constante A .

9 A e 3 x - 3 * 3 A e 3 x - 4 * A e 3 x = 4 e 3 x

9 A e 3 x - 9 A e 3 x - 4 A e 3 x = 4 e 3 x

- 4 A e 3 x = 4 e 3 x

A = - 1

Maravilha!! Agora que já sabemos o valor de A , podemos substituir na soluçaõ particular.

y p = - e 3 x

Para encontrar a solução geral, temos que lembrar que ela é a soma da solução homogênea e da particular:

y x = y h x + y p x

Então, ficaremos com:

y x = c 1 e 4 x + c 2 e - x - e 3 x

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Resposta

y x = c 1 e 4 x + c 2 e - x - e 3 x

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