Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 13

Encontre todas as soluções da EDO:

y ' ' - y ' + y 4 - 3 = e x / 2

Passo 1

Reorganizando isso aí, temos:

y ' ' - y ' + y 4 = e x / 2 + 3

Ou seja, uma EDO de segunda ordem não-homogênea, uma vez que temos uma derivada de segunda ordem aparecendo e uma função de x solta ali.

OK, desta forma a solução será dada pela combinação: y x = y h x + y p x

Vamos começar pela parte homogênea.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, consideramos a EDO homogênea equivalente:

y ' ' - y ' + y 4 = 0

A partir dela, obtemos a equação característica: r 2 - r + 1 4 = 0

Legal, vamos resolver essa equação agora. Repare que essa equação pode ser escrita na forma: r 2 - 2 1 2 r + 1 2 2 = 0

Ou seja, é um quadrado perfeito

r 2 - 2 a r + a 2 = r - a 2 = 0

Com a = 1 / 2 . Assim, teremos:

r 2 - r + 1 4 = 0 = r - 1 2 2

E teremos duas raízes reais e idênticas:

r 1 = r 2 = 1 2

Com isso, nossa solução terá x multiplicando uma das exponenciais: y h x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 1 x

y h x = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2

Mas guarda essa solução aí no seu heart, porque vamos usar mais pra frente.

Passo 3

A solução homogênea já foi, vamos agora para a solução particular. Temos dois tipos de função aqui, a exponencial e x / 2 e outra constante 3 . Assim, vamos considerar dois casos:

y p x = y p 1 x + y p 2 x

Vamos começar com o segundo relacionado a constante. Para esse caso, esperamos uma solução também constante, então temos: y p 2 x = A

Para determinar A , vamos substituir na EDO. Encontrando as derivadas para isso, vai ficar:

y ' = A ' = 0

y ' ' = A ' ' = 0

Logo: y ' ' - y ' + y 4 = 3

0 - 0 + A 4 = 3

Repare que desconsideramos a exponencial neste segundo caso. Isolando A :

A = 12

Assim teremos: y p 2 x = A = 12

Passo 4

Vamos olhar para o primeiro caso agora que é y p 1 x , relacionado a exponencial. Esperaríamos naturalmente solução na forma: y p 1 x = B e x 2

O problema é que já teremos solução nessa forma e na forma x e x 2 aparecendo na parte homogênea, assim consideramos x 2 multiplicando, ou seja, consideramos: y p 1 x = B x 2 e x 2  

Agora derivamos usando a regra do produto para substituir:

y ' = B x 2 e x 2   ' = 2 B x e x 2 + B x 2 2 e x 2

y ' ' = 2 B e x 2 + B x e x 2 + B x e x 2 + B x 2 4 e x 2

Assim, teremos: y ' ' - y ' + y 4 = e x / 2

2 B e x 2 + B x e x 2 + B x e x 2 + B x 2 4 e x 2 - 2 B x e x 2 - B x 2 2 e x 2 + B x 2 e x 2 4 = e x 2

Juntando termos de mesmo grau e comparando: - B 2 + B 4 + B 4 x 2 + B + B - 2 B x + 2 B e x 2 = 0 x 2 + 0 x + 1 e x 2

0 x 2 + 0 x + 2 B e x 2 = 0 x 2 + 0 x + 1 e x 2

Ou seja, tiramos que: 2 B = 1 B = 1 2

Portanto:

y p 1 x = B x 2 e x 2  

y p 1 x = x 2 2 e x 2  

E a solução particular será:

y p x = y p 1 x + y p 2 x

y p x = x 2 2 e x 2 + 12

Passo 5

Com tudo construído, chegamos a solução final: y x = y h x + y p x

y x = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + x 2 2 e x 2 + 12

Essas constantes c 1 e c 2 são constantes gerais que dependem das condições iniciais ou de contorno. Como não temos um problema deste tipo aqui, então deixamos dessa maneira mesmo. 😉

Resposta

y x = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + x 2 2 e x 2 + 12

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