Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 16

Encontre todas as soluções da EDO:

y ' ' + y = 8 sen 2 x

Passo 1

Temos uma derivada de segunda ordem aparecendo aqui, então temos uma EDO de 2ª ordem. Além disso, temos uma função de x solta ali do outro lado. Logo, não é uma EDO homogênea!

Mas ok, segue o jogo. A solução da EDO não homogênea vai ser composta por:

y x = y h x + y p x

Em que y h é a solução da EDO homogênea equivalente e y p é a solução particular.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, consideramos a EDO homogênea equivalente:

y ' ' + y = 0

A partir dela, obtemos a equação característica: r 2 + 1 = 0

Portanto, isolando r , teremos: r = ± 1 i

Ou seja, temos duas raízes imaginárias e a solução homogênea será dada por senos e cossenos:

y h x = c 1 cos 1 x + c 2 sen 1 x

y h x = c 1 cos x + c 2 sen x

Passo 3

A parte homogênea já foi, vamos para a parte particular agora. Temos agora uma função 8 sen 2 x . Por estar ao quadrado, poderíamos ter que usar algum outro método, mas vamos usar um drible aqui

Vamos usar a relação: sen 2 x = 1 - cos 2 x 2

E podemos substituir isso na nossa EDO:

y ' ' + y = 8 sen 2 x

y ' ' + y = 8 1 - cos 2 x 2

y ' ' + y = 4 - 4 cos 2 x

Legal, agora temos duas funções distintas aqui: uma constante 4 e uma função trigonométrica - 4 cos 2 x . Então, vamos dividir nossa solução particular em duas partes, uma associada à constante que chamaremos de y p 1 e outra associada à função trigonométrica que chamaremos de y p 2 :

y p x = y p 1 x + y p 2 x

Vamos começar tratando de y p 1 x . Como temos uma constante associada, esperamos solução na forma:

y p 1 x = A

Para achar A , substituímos na EDO, para isso, derivamos:

y p 1 ' x = A ' = 0

y p 1 ' '   x = 0 ' = 0

Beleza, então substituindo na EDO sem a parte com cosseno, vai ficar:

y ' ' + y = 4

0 + A = 4

A = 4

Show, então:

y p 1 x = A

y p 1 x = 4

Passo 4

Para outra parte, vamos considerar: y p 2 x = B sen 2 x + C cos 2 x  

Derivamos novamente para poder substituir: y p 2 ' x = B sen 2 x + C cos 2 x ' = 2 B cos 2 x - 2 C sen 2 x  

y p 1 ' ' x = 2 B cos 2 x - 2 C sen 2 x ' = - 4 B sen 2 x - 4 C cos 2 x  

E podemos substituir na EDO sem a parte da constante: y ' ' + y = - 4 cos 2 x  

- 4 B sen 2 x - 4 C cos 2 x + B sen 2 x + C cos 2 x   = - 4 cos 2 x

Juntamos os termos para comparar:

- 3 B sen 2 x + - 3 C cos 2 x = 0 sen 2 x - 4 cos 2 x

Comparando os coeficientes, encontramos: - 3 B = 0 B = 0

- 3 C = - 4 C = 4 3

Então a segunda parte da solução particular vai ficar:

y p 2 x = B sen 2 x + C cos 2 x  

y p 2 x = 4 3 cos 2 x  

Ou seja, nossa solução particular será:

y p x = y p 1 x + y p 2 x

y p x = 4 + 4 3 cos 2 x

Passo 5

Agora que encontramos tudo, vamos substituir na solução geral:

y x = y h x + y p x

y x = c 1 cos x + c 2 sen x + 4 + 4 3 cos 2 x

Resposta

y x = c 1 cos x + c 2 sen x + 4 + 4 3 cos 2 x

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