Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2017.1, Questão 2

Uma função F :   R   R se diz limitada se existem uma constante M > 0 tal que F ( x ) M para todo o x   R . Qual o valor de ω tal que a equação diferencial

y "   - 2 y ' + 5 y = c o s ( ω x )

Não tenha soluções limitadas?

  1. ω = - 1
  2. ω = - 2
  3. ω = 2
  4. n e n h u m a   d a s   d e m a i s   a l t e r n a t i v a s
  5. ω = 1

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo para encontrar a seguinte solução:

y x =   y h x +   y p ( x )

Primeiro, encontramos a solução da equação auxiliar da EDO homogênea

y "   - 2 y ' + 5 y = 0

r 2 - 2 r + 5 = 0

= - 16

r = 1 ± 2 i

Assim, como você já está fera em EDO de segunda ordem homogênea, temos:

y h x = A e ( 1 + 2 i ) x + B e 1 - 2 i x = e x ( c 1 c o s 2 x + c 2 s e n   2 x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto! Agora partimos para a solução particular, ok ?

Como a f ( x )   =   c o s ( ω x ) , vamos chutar uma solução do tipo:

y p x = C cos ω x + D sen ω x

Passo 3

Calculando suas derivadas...

y ' p x = - C ω sen ω x + D ω cos ω x

y " p x = - C ω 2 cos ω x - D ω 2 sen ω x

Aplicando essas derivadas na EDO:

- C �� 2 cos ω x - D ω 2 sen ω x + 2 C ω sen ω x - 2 D ω cos ω x + 5 C cos ω x + 5 D sen ω x = cos ω x

- C ω 2 - 2 D ω + 5 C = 1 - D ω 2 + 2 C ω + 5 D = 0

Você já percebeu que isso vai dar um sistema bizarro de resolver, né? Mas na real isso não é problema.

Passo 4

A solução do problema do problema vai ser:

y x =   y h x +   y p x =   e x ( c 1 c o s 2 x + c 2 s e n   2 x ) + C cos ω x + D sen ω x

Mas, apesar de as funções trigonométricas serem limitadas, as funções e n x são ilimitadas. Logo, a função resultante do produto e soma entre funções limitada e ilimitadas vai ser ilimitada independentemente de ω .

Por isso que a gente não precisa se preocupar em resolver aquele sistema e achar os valores de A e B em função de ω .

Resposta

(d) nenhuma das alternativas anteriores.

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