Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2016.1, Questão E9

Sabendo-se que y " + a y ' + y = e x   tem uma solução particular da forma y = A x 2 e x , para alguma constante real A . Então, quanto vale a ?

Passo 1

Repare que do lado direito da EDO o termo que aparece é e x . Se a solução particular é da forma:

y = A x 2 e x

É porque as soluções e x ; x e x já existiam na solução da homogênea. E para que tenhamos uma solução desse tipo da homogênea, é porque estamos no caso de duas raízes reais e iguais, ou seja = 0 , e as raízes são r 1 = r 2 = 1 (pois estamos falando de e 1 x , repararam? ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A equação auxiliar é:

r 2 + a r + 1 = 0

Sabemos do passo anterior que = 0 .

Encontrando as raízes:

r = - a ± 0 2

Porém vimos que:

r 1 = r 2 = 1

Então:

a = - 2

Resposta

a = - 2

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