Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2019.1, Questão 4

Sabe-se que y ' ' +   a y + y = e x tem uma solução particular da forma y = B x 2 e x , para alguma constante real B . Então:

  1. a = 1
  2. a = - 1
  3. a = - 2
  4. a = 0
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Então, toda vez que aparecer algo falando que um y é solução de uma equação, a primeira coisa que a gente tem que pensar é substituir na equação, porque se ele é solução, ele satisfaz a equação. Aí a gente consegue extrair umas informações das relações que encontrar. Vamos fazer isso então para ver no que dá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para substituir a gente precisa calcular a derivada segunda de y = B x 2 e x :

Pela regra do produto:

y ' = B 2 x e x +   x 2 e x = 2 B x e x + B x 2 e x

y ' ' = 2 B 1 e x + x e x + B 2 x e x +   x 2 e x = 2 B e x + 4 B x e x +   B x 2 e x

Passo 3

Beleza. Agora a gente pode substituir, como muita coragem, y e y ' ' em y ' ' +   a y + y = e x :

y ' ' +   a y + y =   2 B e x + 4 B x e x +   B x 2 e x +   a B x 2 e x +   B x 2 e x = e x

Passo 4

Ficamos com uma equação parecida com aquela que a gente chega para achar os coeficientes de uma solução particular, percebe? O que a gente fazia nesses casos? Um sistema baseado nos coeficientes que multiplicam as funções. Como fica então?

De um lado da equação temos que o termo e x tem coeficiente 2 B e, do outro, coeficiente 1. Então a gente pode fazer:

2 B = 1 B = 1 2

Passo 5

Com isso, vamos olhar os termos que multiplicam x 2 e x porque um deles é o a que queremos achar.

De um lado da equação temos que x 2 e x tem coeficiente ( B + a B + B ) e do outro coeficiente 0 (porque ele não aparece do outro lado).

Então podemos fazer:

2 B + a B = 0

Mas a gente sabe que:

B = 1 2

Logo:

2 B + a B = 0 1 + a 2 = 0

Isolando a :

a = - 2

Logo, nossa alternativa é a letra c.

Resposta

Letra c

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